大开脑洞的数学问题
关于我或者XZN都整出了哪些奇葩问题
通过任一点的可导函数
这个问题是XZN提出的，提出原因不明(可能闲得慌😜)
问题
如果任意给定一组可列点列$A:i\in\mathbb N,(x_i,y_i)$，且$\forall i,j\in\mathbb N(i\neq j\Longleftrightarrow x_i\neq x_j)$，能否定义一个函数$f$，使得$f(x_i)=y_i$，且$f$在$\mathbb R$上无穷阶可导
回答
首先，这个原命题的回答是不一定，当给定点列$A$有多个聚点时不一定能定义，毕竟这时通过所有点的函数都不一定在$\mathbb R$上连续，比如如下点列
\[(x_i,\sin{\frac{1}{x_i}}),x_i\in\mathbb Q\ \wedge\langle x_i\rangle点列以0为唯一聚点\]而针对仅有唯一聚点的情况，我们断言，一定存在对应的函数，不仅如此，甚至我们可以构造出可列个线性无关的这样的$f$，证明如下
首先假设$\forall i,j\in\mathbb N(i<j\Longleftrightarrow |x_i|>|x_j|)$记$\epsilon_i=\frac{|x_i|+|x_{i+1}|}{2}$，这样我们就将取到的点列$A$通过$\epsilon_i$进行了划分，接下来对于任意给定的$i\in\mathbb N$，我们对于$a<i$都只有有限个$x_a$，如果我们对于任意的$i$，都可以定义出这个区间上的任意阶可导的函数$f_i$，并且保证所有的$f_i$构成和谐函数系统(或者叫不冲突，即只要函数有定义就有$\forall x,f_i(x)=f_j(x)$)，集合论就保证存在$f=\bigcup{f_i}$，显然这个$f$就是我们要找的那个函数。
对于这样的点列，我们还可以做一种简化，将唯一的聚点移动到原点，这并不影响函数的存在性（如果聚点是无穷远点情况类似，读者可自己尝试证明）。然后很巧的是，我们又注意到若定义$f_i$为如下的函数，即可满足我们的条件：
若在函数中取合适的$\alpha_i$，使得函数通过$(x_i,y_i)$即可，并且可以验证这样的$f_i$在所有的$\epsilon_i$上也是无穷阶可导的，因而我们的命题得证。😏
好吧开个玩笑，这个函数当然不是随意构造出来的，下面我简述一下构造其的思路。回到聚点邻域外的有限个点，我们很容易就会尝试考虑多项式函数，毕竟这里只有有限个嘛(如果假设是$m$个)，一个$m-1$阶的多项式$P_m$就可以解决问题，然后如果再加上里面的下一个点，现在我们自然地想到在$(\epsilon_{m+1},\epsilon_m)$间在定义一个$m+1$次多项式$P_{m+1}$，接下来我们只需要保证这两个多项式函数在衔接点$\epsilon_m$出无穷阶可导即可
可是问题也正好在此，我们考虑这个多项式$P_{m+1}$，我们可以通过衔接点$\epsilon_m$处$P_m$的$m$阶导数提供的$m$个方程和点$(x_{m+1},y_{m+1})$提供的$1$个方程求出其各项系数，但是这会导致一个问题，如何保证$P_{m+1}$在$\epsilon_m$处的$m+1$阶导数为零呢，除了添加新的参数，我们没有办法保证这一点，但是如果添加一个参数，我们又怎么保证更高阶的导数呢，毕竟$\epsilon_m$处有无穷阶导数，它们都应该等于零嘛。显然我们不能仅仅通过多项式衔接两个区域，这迫使我们思考其他的函数。
其实我们遇到的问题仅仅是希望添加一个参数，使得我们的函数通过下一个点，但同时不要影响原来的导数值，那么如果存在一个函数$g$，满足$g^{(n)}(0)=0$，然后我们令$f_{m+1}(x)=f_m(x)+\alpha_{m+1} g(x-\epsilon_m)$，这样衔接点的各阶导数值都不改变，衔接很自然，然后我们再调整$\alpha_{m+1}$使得$f_{m+1}$通过点$(x_{m+1},y_{m+1})$即可。可能有的读者已经想到了，没错就是这个函数，它就是前面出现的：
读者可以自行验证这个函数在$\epsilon_m$点处确实各阶导数为0，于是我们最后就可以定义函数$f_i$，从而定义出$f$。更进一步，既然我们定义的$f_i$都没有提高多项式阶数，那我们定义起点（先取有限个点定义它们上的可导函数）可以是任意阶的（甚至不是多项式）函数，而且不论怎样的定义起点，我们都可以归纳定义出一个全新的$f$来，而且这些$f$之间都是线性无关的
总结：若点列$A$仅有一个聚点，一定是可以定义出一个函数$f$，使得$f(x_i)=y_i$，且$f$在$\mathbb R$上无穷阶可导。