我的集合论问题
我自己在学习集合论中遇到的一些疑问
定理1.80
页数：120页(书99页)
问题：
为什么只能是 $\omega$ 做序数，而不能是任意序数$\xi$
尝试证明：
记$\xi$为一个普通的序数，与原文相同，令
\[\beta = \max{(\{\delta\mid\xi^\delta\leq\alpha\})}\]令$(\delta,\rho)$为满足等式
\[\alpha=\xi^\beta\cdot\delta+\rho\]的唯一序数对，同样我们断言
\[0<\delta<\xi,\rho<\alpha\]否则
\[\alpha \geq \xi^\beta\cdot\delta \geq \xi^\beta\cdot\xi=\xi^{(\beta+1)}\]因而，令
\[\beta_1=\beta,k_1=\delta,\alpha=\xi^{\beta_1}\cdot k_1+\rho\]若$\rho\neq0$，但这时根据归纳假设
\[\rho=\xi^{\beta_2}\cdot k_2 + \xi^{\beta_3}\cdot k_3 + \xi^{\beta_4}\cdot k_4 + \cdots + \xi^{\beta_n}\cdot k_n\]唯一性证明可以不加任何区别，因为其并没有使用 $\omega$ 的任何性质，因而换做 $\xi$ 也不会有任何问题
猜想：
它只是没有讲，因为我觉得证明并没有什么问题
命题1.27(5)
页数：128页(书107页)
问题：
为什么
序数$\alpha$是一个基数，当且仅当$\forall R\in Wo(\alpha)(\alpha\leq ot(R))$
注
$W(R,A)\leftrightarrow R是A上的一个秩序$
$Wo(X)={R\subset X\times X\mid\exists A\subset R\ \ W(R,A)}$
分析
（注：我和XZN难得有相同的看法）
这个论述并不严谨，根据书中上文的定义，这里说的秩序关系$R$是在任何$\alpha$的子集上的，但是很明显对于无限序数$\alpha$和有限子集上的$R$都不可能满足$\alpha\leq ot(R)$，因而此处所讨论的$R$只能是限定在$\alpha$上的秩序关系。而如果更改$Wo(\alpha)$的定义，这个结论的成立性也是显然的。所以我认为前文对$Wo(X)$的定义应当更改为：
引理1.23
页数：128页(书107页)
我认为$\leq$可以更改为$<$，毕竟$\omega_\alpha$增长远比$\alpha$快，$=$在大序数中应该不可能成立
后记
文章定理1.91（129页）阐述了这一点
集合势的定义
页数：131页(书110页)
- 已解决，见解决的集合论问题
问题
主要的问题不在可以秩序化的集合，问题在于若集合$X$不可秩序化，根据定义
\[\vert X\vert=\{y\mid\vert y\vert = \vert X\vert \wedge\forall z (\vert z\vert = \vert X\vert \rightarrow RK(y) \leq RK(z))\}\](注：$RK(y)$就是$y$对应的$V_y$，即书靠前的页数中用序数定义的一堆传递集合)
此处的注有误，请以解决的集合论问题的定义为准
我们看定义中的第一条:$\vert y\vert = \vert X\vert$，这意味着$y$与$X$等势，但是我们又考虑到任意序数总和某个基数等势，从而$X$肯定和某个基数等势，但是这即意味着$X$可秩序化，因而这样的$y$是找不到的，从而$\vert X\vert \equiv {\varnothing}$
解决
我觉得必须更改集合势的定义才能解决这个冲突，考虑其定义的目的，我们应该可以将定义更改为
\[\vert X\vert=\{\min{\{y\mid X \subseteq RK(y)\}}\}\]这样，$y$仍然是包含$X$的最小的$V_a$对应的序数
其他
观察最初的定义，这个定义还有值得注意的地方，我们可以发现，定义出的$\vert X\vert$是一个包含$y$的集合，而不是$y$本身，即是${y}$，这样做可以保证对于两个集合$X,Y$，若$X$不可秩序化，而$Y$可秩序化，那么$\vert X\vert \neq\vert Y \vert$，不过坏处是不能定义$<,>$关系
强极限基数性质
页数：172页(书151页) 定理2.15
- 已解决，见解决的集合论问题
原描述
如果$\aleph_\alpha$是一个强极限基数，那么$2^{\aleph_\alpha}=\aleph_\alpha^{\mathbf{cf}(\alpha)}$，并且对于任意的两个无穷基数$\kappa<\aleph_\alpha,\lambda<\aleph_\alpha$，都有
我的看法
我对这个命题后半句十分赞同，但是前半句我觉得并不正确，具体原因是如果大家考虑$\alpha=0$，此时$\aleph_\alpha=\aleph_0=\omega$，显然，$\omega$是一个强极限基数，但是根据定理所述$2^\omega=\omega^{\mathbf{cf}(0)}$，可是这能正确吗？显然不正确啊，所以我认为书中此处有错误，应当改为
\[2^{\aleph_\alpha}=\aleph_\alpha^{\mathbf{cf}(\aleph_\alpha)}\]证明
利用169页(书148页) 定理2.11，有
\(2^{\aleph_\alpha}=(2^{<\aleph_\alpha})^{\mathbf{cf}(\aleph_\alpha)}\leq(2^{\aleph_\alpha})^{\aleph_\alpha}=2^{\aleph_\alpha}\)
不可达基数
见我的练习
$\omega$-无界闭子集滤子
页数：186页(书165页)
基础内容
定义
设$\kappa$是一个不可数的正则基数，令
\[\mathcal C_\omega(\kappa)=\{\alpha<\kappa\mid\mathbf{cf}(\alpha)=\omega\}\]- $A\subseteq\kappa$是一个$\omega$-闭子集当且仅当对于任意的$\alpha\in\mathcal C_\omega(\kappa)$，如果$A\cap\alpha$在$\alpha$中无界，那么$\alpha\in A$；若$A$在$\kappa$中还是无界的，则称为$\omega$-无界闭子集
- \[\mathscr E_\omega(\kappa)=\{A\subseteq\mathcal C_\omega(\kappa)\mid\exists B\subseteq A(B是\omega-闭子集，且在\kappa中无界)\}\]
定理2.28
设$\kappa$是一个不可数正则基数，
- $\mathcal C_\omega(\kappa)$是$\kappa$的一个荟萃子集，并且是$\kappa$的一个$\omega$-无界闭子集
- $\mathscr E_\omega(\kappa)$是一个非平凡的$\omega_1$-完全的滤子
- \(\mathscr E_\omega(\kappa)=\{A\subseteq\kappa\mid\exists C\in\mathscr E(\kappa)\ (C\cap\mathcal C_\omega(\kappa)\subseteq A)\}\)
- $\mathscr E_\omega(\kappa)$是一个正规滤子
问题
我认为定理2.28中第三条是不正确的，尽管书中给出了证明，我同样认为书中证明是错误的，理由如下：
首先，$\mathcal C_\omega(\kappa)$中的元素必须都是极限序数，这从定义中即可看出，因而任何$A\in\mathscr E_\omega(\kappa)$都必须仅包含极限序数。
再看定理2.28中的描述，等式左边中的任何$A\in\mathscr E_\omega(\kappa)$都不能包含后继序数，而右侧的任何元素$A$，任取一个后继序数$\alpha+1$，总能保证\(A\cup\{\alpha+1\}\)也满足条件，因而显然两边就不相等，证明也只能是错误的。
解决
看了书中的证明之后，我认为书中对于$\mathscr E_\omega(\kappa)$的定义是不对的，书中证明取的左边的元素就是普通的$\omega$-无界闭子集，并没有强调其只含有极限序数，和其给出的定义是不相符的；此外这个的定义和之前定义$\mathscr E(\kappa)$也不一样，$\mathscr E(\kappa)$收集了所有包含无界闭子集的集合，但是此处的定义却截然不同
甚至，作为滤子，$\mathscr E_\omega(\kappa)$都不包含$\kappa$（这导致第四条也肯定是错误的，除非它根本不是$\kappa$的正规滤子，难道是$\mathcal C_\omega(\kappa)$的？）
最后如果将$\mathscr E_\omega(\kappa)$的定义更改为和$\mathscr E(\kappa)$类似，证明也将是正确的，所以我觉得此处书中有误，应当更改为：
\[\mathscr E_\omega(\kappa)=\{A\subseteq\kappa\mid\exists C\in\mathcal C_\omega(\kappa)(C\subseteq A)\}\]