选择公理应用

选择公理(AC)等价命题见结论记录

基数运算性质

这个结论来自书¹147页，以下三条性质都需要使用选择公理进行证明

• $2^\kappa>\kappa$或$2^\kappa\geq\kappa^+$
• 若$\alpha\leq\beta$，则$2^\alpha<2^\beta$
• 若$\alpha\in Ord$，则$\mathbf{cf}(2^{\aleph_\alpha})>\aleph_\alpha$

$\aleph$数和基数关系

网上有人，也包括AI都回答这个问题说需要AC才能保证所有的基数都是某个$\aleph$，但是实际上我在翻阅书¹之后，发现书中107页定理1.90就已经给出证明了，结论成立，而且不需要AC参与证明

其他重要性较低的命题

$\omega_1$上非平凡的$\omega_1$-完全的超滤子

见我的笔记

理想扩充

通过佐恩引理可以证明任意理想都可以扩张成为一个素理想（书上好像第二卷第三章有相关结论，但是我还没有看到那里，现在还在第二卷第一章，下面附一个Gemini的证明）

是的，在集合论中，一个任意的真理想（proper ideal）都可以扩张成为一个素理想。这个结论通常通过佐恩引理（Zorn’s Lemma）来证明。 具体来说，对于一个布尔代数 $\mathbb{B}$（例如一个集合的幂集），如果 $I$ 是一个真理想，我们可以构造一个包含 $I$ 且满足链条件的偏序集，然后使用佐恩引理来证明这个偏序集存在一个极大元。这个极大元就是包含 $I$ 的一个极大理想。参考材料中提到，在一个布尔代数中，$I$ 是一个素理想当且仅当它是一个极大理想 4。 虽然提供的参考材料没有直接给出“任意理想都可以扩张成为一个素理想”的明确陈述，但它们提供了支持这一结论的关键概念：

素理想与极大理想的关系：参考材料中指出，对于一个布尔代数，一个理想是素理想当且仅当它是一个极大理想 4。这意味着只要能证明一个理想可以扩张成一个极大理想，就证明了它可以扩张成一个素理想。 佐恩引理的应用：参考材料 5 在证明一个具有有限交性质的子集合可以扩张成一个超滤子时，用到了佐恩引理。超滤子与素理想是对偶的概念 11。具体来说，如果 $\mathcal{F}$ 是一个超滤子，那么 $X$ 上的一个理想 $\mathcal{I} = {A \subseteq X \mid (X-A) \in \mathcal{F}}$ 是一个素理想 11。类似地，通过从一个理想出发，利用佐恩引理可以找到一个包含该理想的极大理想，从而得到一个素理想。

因此，这个结论在集合论和抽象代数中是成立的，并且依赖于佐恩引理。

1. 冯琦集合论 ↩︎ ↩︎²