集合论笔记

书¹

基数指数运算的性质

页数：170页(书149页) 定理2.13

书上内容

设$\lambda$是一个无穷基数，那么对于任意的无穷基数$\kappa$．基数指数$\kappa^\lambda$ 这依照如下关于$\kappa$的递归方式计算：

• 如果$\kappa\leq\lambda$,那么$\kappa^\lambda=2^\lambda$
• 如果存在一个无穷基数$\mu<\kappa$满足$\mu^\lambda\geq\kappa$，令$\mu$为最小的这样的基数，那么$\kappa^\lambda=\mu^\lambda$
• 如果$\kappa>\lambda$并且对于每一个严格小于$\kappa$的无穷基数$\mu$都有$\mu^\lambda<\kappa$，那么
  • 若$\mathbf {cf}(\kappa)>\lambda$，则$\kappa^\lambda=\kappa$
  • 若$\mathbf {cf}(\kappa)\leq\lambda$，则$\kappa^\lambda=\kappa^{\mathbf {cf}(\kappa)}$

我的理解

第一条中当$\kappa$太小时，$\lambda$主要地影响运算的值，毕竟$\kappa^\lambda=\prod\limits_{\gamma<\lambda}\kappa_\gamma$，其中$\kappa_\gamma=\kappa$，而$\kappa$太小了，自然乘什么都无所谓了

第二条表明$\kappa$对大小的影响是“阶梯”的，每跨过一个“阶梯”才会有值的变化，不过需要注意的是，这个“阶梯”并非只在极限基数上才上升，即使是后继基数上，值依然可以变大，比如若有基数满足

\[\lambda<\mu\leq\alpha\ \wedge\ \mu^\lambda=\alpha^\lambda\neq(\alpha+1)^\lambda\]

注意此处用$\alpha+1$来指代$\alpha$的后继基数，而不是后继序数

我们可以从表达式得知如下关系：

\[\mu^\lambda=\alpha^\lambda=\alpha,(\alpha+1)^\lambda=\alpha+1,(\alpha+2)^\lambda=\alpha+2,\cdots\]

这是可能存在的，而且甚至“大部分”基数都满足幂次后不改变大小，容易想到，当$\lambda<\omega$时，无穷基数当然都有这一条性质，这对应于$\lambda$“太小了”。但是还有一种情况作为其拓展，也就是$\kappa$“太大了”，从而显得$\lambda$“太小了”，即是当$\kappa$“超级大”，显得多自乘几次都没什么太大变化了的时候。

第三条是理解的重点，首先，经过前两条的“筛选”，需要使用第三条判断的基数是不是都是极限基数？如果不是，为什么使用$\mathbf{cf}()$函数？

关于这个问题的答案，显然地是不，因为在我们第二条的讨论中就已经得到了很多的基数，他们都不存在满足条件的$\mu$，但是还是可以使用这个$\mathbf{cf}()$函数的，因为这个函数是对极限序数定义的，而基数不都是极限序数吗。

然后对于其中第一小点，我觉得可以理解为：$\lambda$对于我而言完全就是有界的，那不是“有限的”吗，这种大小的东西，乘了和没乘有什么区别吗？自然值就不变了。

对于第二小点，尽管$\lambda$对于我而言确实是“无限的”，但是我内部的无界子集性质也没什么不同啊，乘几个不都一样吗，乘$\mathbf{cf}(\kappa)$次也差不多了，也反映出你是无界的了，值自然也是相等的。

但是不论对于哪一种情况来说，如果$\kappa$是后继基数，$\lambda$对于他们而言都太小了（见第二条的分析）（而且后继基数一定是正则基数），最后的计算结果都是$\kappa$，这也是自洽的

无穷基数序列

页数：128页(书107页) 定义1.93

• $\aleph_0=\omega_0=\omega$
• 对于任意的后继序数$\alpha$，$\aleph_\alpha=\omega_{\alpha+1}={\omega_\alpha}^+$
• 对于任意的极限序数$\gamma$，\(\aleph_\gamma=\omega_\gamma=\bigcup{ \{ \omega_\alpha\mid\alpha<\gamma \} }\)

${\omega_\alpha}^+$是指比$\omega_\alpha$大的所有基数中最小的那一个

性质

\[\forall\alpha\in Ord\ \exists\gamma(\gamma>\alpha\wedge\gamma=\aleph_\gamma)\]

$\omega_1$上非平凡的$\omega_1$-完全的超滤子

页数：192(书171页)

书中证明

假设$\mathscr U$是$\omega_1$上的一个非平凡的$\omega_1$-完全的超滤子
令X为一个势为$\omega_1$的从$\omega$到\(\{0,1\}\)的函数之集。令$H:\ X\to\omega_1$为一个双射，令：

\[\mathscr V=\{A\subseteq X\mid H[A]\in\mathscr U\}\]

那么$\mathscr V$是$X$上的一个非平凡的$\omega_1$-完全的超滤子，对于$n<\omega$，令

\[X^0_n=\{f\in X\mid f(n)=0\},X^1_n=\{f\in X\mid f(n)=1\}\]

再令$\epsilon_n$满足$X^{\epsilon_n}n\in\mathscr V$

记$Y=\bigcap\limits{n<\omega}X^{\epsilon_n}_n$，根据$\omega_1$的完全性，$Y\in\mathscr V$，但是，如果$f\in Y$，那么，

\[\forall n\in\omega(f(n)=\epsilon_n)\]

故而$

Y

\leq 1$，这与$\mathscr{V,U}$非平凡矛盾，所以$\omega_1$上无非平凡完全超滤子

我的理解

集合$X$

值得注意的是，在没有承认连续统假设的情况下，集合$X$不一定包含了全部的映射$f$（如果$2^\omega>\omega_1$），很可能只含有其中的一部分，不过即使如此不影响后续证明，包括双射$H$的选取，这可以由集合势的大小比较的定义得知。

选择公理

书中说这个命题证明是依赖选择公理的，我最初并没有看到选择公理，经过一番寻找和总结，我找到哪里使用了选择公理。

证明使用选择公理是在论述第一步选择$X$时，这里使用了基数运算性质。只有当AC成立时，我们有$2^\omega>\omega$，从而$2^\omega\geq\omega_1$，否则集合$X$可能根本找不到，其他地方并没有使用选择公理（尽管AI告诉我使用了）

Galvin-Hajnal定理中的函数序关系

页数：208页(书187页) 定义2.29下方

定义2.29: — 设$\kappa\geq\omega_1$是一个正则基数，
对于$f,g\in\kappa^\kappa$，令

\[\begin{equation} f< g\leftrightarrow\{\alpha<\kappa\mid f(\alpha)\geq g(\alpha)\}是一个非荟萃集合 \label{eq:2.29} \end{equation}\]

---

设$T\subset\kappa$是一个荟萃子集，对于$f,g\in\kappa^\kappa$，令

\[f<_Tg\leftrightarrow\{\alpha\in T\mid f(\alpha)\geq g(\alpha)\}是一个非荟萃集合\]

---

接下来，书里证明了$<$-关系是一个传递关系，而且是一个有秩关系。关于有秩关系是这部分讨论的重点，我思考的内容也主要地和这部分有关。（考虑到两个序关系也差不多，所以我和书上一样主要关注第一个序关系）

有秩关系证明

首先提一下有秩关系的证明，书上的证明十分简略，我在此做一些补充。

如果确实存在一个递减的无穷序列

\[\begin{equation} f_0>f_1>f_2>\cdots>f_n>f_{n+1}>\cdots \label{eq:4-1} \end{equation}\]

我们取无界闭子集$C_n$满足$\forall\alpha\in C_n(f_n(\alpha)>f_{n+1}(\alpha))$，又考虑到无界闭子集在$\kappa$上是$\kappa$-完全的（即满足$\omega$-完全或$\sigma$-完全），所以

\[\begin{equation} C=\bigcap\limits_{n<\omega} C_n \label{eq:4-2} \end{equation}\]

也是无界闭子集，而且满足

\[\forall\alpha\in C(f_n(\alpha)>f_{n+1}(\alpha))\]

这样也就定义出了一个$\alpha$上的无穷降链，因而是不行的，只能不存在这样的降链，所以说明任意降链都有最小元，即$<$是一个有秩关系。

理解

首先我们要理解一下为什么这个关系是成立的。观察定义 \eqref{eq:2.29} ，定义的$<$关系就是说在一个（实际上是无穷多个）无界闭子集$C$上，函数$f,g$满足$f(\alpha)< g(\alpha)$。那为什么这个要求会阻止无穷降链的产生呢？结合证明过程，我觉得可以这样理解：对于每一次迭代（即从$f_n$到$f_{n+1}$）都会有$\kappa$个元素（即$C$里面的元素）变小，这虽然不代表大部分元素都减小了，但是也意味着是极其大量的元素减小。而全局来看，能在$\omega$次操作里面都“幸存”下来的元素是极其少的，如果我们希望可以一直减小下去，那么对于 \eqref{eq:4-2} 中的元素，必然在某一有限步里就变成0了，并且变成0以后它就不能再减小了，不可能在以后的任何$C_n$中了，为了保证$C_n$的无界闭子集身份，必须有新的元素进来补充。并且每一次补充的元素还有$\kappa$个（因为只改变$<\kappa$个元素不影响$C_n$的无界闭子集性质，而且退出的元素个数几乎就是$\kappa$个，因为每一轮都有$\kappa$个元素在减小）。而一直这样持续下去，不需要所有元素都变成0，你就已经凑不出来无界闭子集$C_n$了，因为 \eqref{eq:2.29} 的那个集合就已经包含无界闭子集，从而是荟萃集合了（其实条件可以更强）。此外我们还能注意到每一步迭代变小的

困难

证明是明显无疑的，显然正确，可是当我们尝试去构造的时候，我们便会遇到麻烦，不过在这里请允许我先举几个例子，然后我们再来构造和理解极小元就很明白了。

恒为0是最小的吗？

若记$f:\ f(\alpha)=0$，很明显，$f$在正常的函数序关系中总是最小的那个，可是在这个新的序关系下是吗？对于一般函数$g$，若要$f(\alpha)\geq g(\alpha)$，只能是$g(\alpha)=0$。欸！难道这意味着$g=f$吗？

显然我既然单独拿出来说，就证明$g$可以不等于$f$，不过对于大部分的一般的函数确实$f< g$，不过尽管一般的$g$都做不到，仍然是有特殊的函数可以做到，比如：

若记$C$为$<\kappa$的所有极限点的集合，则定义

\[\begin{equation} g(\alpha) = \begin{cases} 1,\alpha\notin C\\ 0,\alpha\in C \end{cases} \label{eq:4-3} \end{equation}\]

我们来仔细考虑这个$g$，遵照定义 \eqref{eq:2.29} ，首先考察是否有$f< g$，因此考察集合\(\{\alpha<\kappa\mid f(\alpha)\geq g(\alpha)\}=C\)，显然，$C$是荟萃集合，因而关系$f< g$不成立；反之，我们再来看有没有关系$f>g$，考察集合\(\{\alpha<\kappa\mid g(\alpha)\geq f(\alpha)\}=\kappa\)，而$\kappa$肯定是$\kappa$的荟萃集合，从而关系不成立（而且可以放宽$C$的条件到任意无界闭子集，结论仍然成立）。总之即$f,g$完全没有序关系，谁也不比谁小。

所以我们的恒为0的函数$f$也不是最小的那个函数，这意味着序关系$<$不是良序关系，因为它没有最小元，反而有很多个极小元。延伸一下有对任意函数$f_0$，处于 \eqref{eq:4-1} 的链上极小的那个$f_n$可能也不止一个，而具体是哪一个则和降链上每一个$f_i$有关。

函数值如何下降？

对于任意函数$f=f_0$（不恒为0），我们来研究一下 \eqref{eq:4-1} 链上的值是如何下降的。前面理解中已经说过每一次迭代都会有$\kappa$个元素变小，可是如果是$<\kappa$个元素变小呢，下面我们来研究一下这种情况。

首先假设有集合\(A\subset[\kappa]^{<\kappa}\wedge \forall\alpha\in A(f(\alpha)>0)\)，也就是说$A$只含有$<\kappa$个$\kappa$中的序数，然后令

\[g(\alpha)= \begin{cases} f(\alpha)\,\,\,\alpha\in A\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\alpha\notin A \end{cases}\]

同样的，我们来依次考察：

$f< g$

根据定义 \eqref{eq:2.29} ，我们来考察集合\(\{\alpha<\kappa\mid f(\alpha)\geq g(\alpha)\}=\kappa\)，是荟萃集合，因此关系不成立。

$f>g$

根据定义 \eqref{eq:2.29} ，我们来考察集合\(\{\alpha<\kappa\mid f(\alpha)\leq g(\alpha)\}=\complement_\kappa A\)²，考虑到$A$在正则基数$\kappa$中是有界的，记上界为$\gamma$，则肯定有\(\{\alpha<\kappa\mid\gamma<\alpha\}\subseteq\complement_\kappa A\)是无界闭子集，从而$\complement_\kappa A$是荟萃子集，关系不成立。

也就是说，只要我们改变的元素个数$<\kappa$，那就没有序关系，但是我们前面的讨论也告诉我们，改变$\kappa$个也不一定就有序关系。事实上，如果我们减小的值构成了一个无界闭子集，那就一定有减小后的函数与原来的函数有序关系成立，比如有函数$f$，如果对于函数$f$存在一个无界闭子集$C$上函数值从不为0，那我们令

\[g(\alpha)= \begin{cases} 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\alpha\in C\\ f(\alpha)\,\,\alpha\notin C \end{cases}\]

那么$f>g$的关系式是成立的，而且这种性质完全可以推广，而并不仅限于值是0。（而且在无界闭子集上减小的这个条件还是充要的）

所以我们能够知道，处于 \eqref{eq:4-1} 链上的两个函数之间减小值必须是在无界闭子集上进行，改变值应当是在无界闭子集上进行。

可能有的读者会觉得不对，我们一直在减小函数的值，但是有没有可能相邻的两个函数还可能出现某些函数值变大的情况呢？答案是确实有可能，比如你改变($\kappa$-)有限个值，只要不是一个荟萃子集变大就完全没问题，这可以从定义 \eqref{eq:2.29} 中看出，和我们减小的值相比可以说是微乎其微的，尽管最大能够增大$\kappa\times(<\kappa)=\kappa$（当且仅当有一个无界非荟萃子集都在变大时），可是此时剩下的所以元素都在减小。其他情况下增大值都$<\kappa$，影响更是很小。

一个极小元长什么样

既然极小元有许多个，我们不期望找出全部来，那能不能至少找到一个呢，我是说构造性地给出一个？当然，我知道有的读者会说恒为0的那个，不过正如我们上文讨论的那样，它并非对于任何$f_0$都是极小元。更吊诡的是，极小元甚至不一定函数值只有1和0，比如下面这个函数就不会比任何只有1和0的函数都大：
令\(f\in[\kappa]^{\{0,1\}}\)，$C\in\mathscr C_\kappa$³，定义

\[g(\alpha) \begin{cases} 0\,\,\alpha\in C\\ 2\,\,\alpha\notin C \end{cases}\]

读者可以自行验证对于$g$，任何$f$都不可能有$f< g$，尽管也不一定有$g<f$，但是这足以说明在$g$的 \eqref{eq:4-1} 链上的极小元都不会是某个$f$。但是我们可以注意到：在我们列举的那么多函数里，不管是刚刚列举的函数，还是前面提到的函数，比如 \eqref{eq:4-3} ，它们总是在一个无界闭子集$C$取0，所以出现了很多奇怪的特性，从此我们可以归纳出以下事实：任意一个函数$f$如果是极小元，等价于它在某个荟萃子集$S$上取0，证明如下：

$\Longrightarrow$

首先，如果$f$满足条件，那么对于任意函数$g$，我们都有集合\(S\subset\{\alpha<\kappa\mid g(\alpha)\geq f(\alpha)\}\)是一个荟萃子集，从而没有关系$g<f$

$\Longleftarrow$

如果$f$是一个极小元，记\(B=\{\alpha\mid f(\alpha)=0\}\)，任意取一个无界闭子集$C$，并记函数 \(g(\alpha)= \begin{cases}f(\alpha)\, \alpha\notin C \\ 0\,\alpha\in C\end{cases}\)，而集合 \eqref{eq:2.29} \(A=\{\alpha<\kappa\mid g(\alpha)\geq f(\alpha)\}\)也必须是荟萃集合，否则$f$就不能是极小元了。所以$A$与$C$的交也不能是空集，但是\(A=\complement_\kappa C\cup B\)²，因而只能有$C\cap B\neq\varnothing$，而结论对任意$C$都成立，只能有$S=B$是荟萃子集了。

所以结论很明显了，任何极小元都在某荟萃子集上取值为0，并且只要到了这一步就得到了这条链上的极小元。

总结

至此我们就完全弄清楚了这样一个新的序关系的性质，它相当于是说，嘿，我们不关心$f$在全部$<\kappa$的序数上的取值了，我们减弱条件到只关心一个$\kappa$上的荟萃子集的值，这个函数$f$的大小（或者叫链上所处的位置）也可以认为是完全被其在所有荟萃子集上的最小值控制（也就是说可以理解为和某常值函数相同，而这个常值就是$f$在任何荟萃子集上能取的常值的最小值），所以最小元就是在某荟萃集合上取0的函数。

怪树

这部分主要对应214-215页（书193-194页）关于树特性的内容

树特性

称一个正则基数$\kappa$具有树特性当且仅当如果 $(T,<)$ 是一棵高度为$\kappa$的树，并且$(T,<)$的每一层$T_\alpha$之势都小于$\kappa$，那么$(T,<)$一定有一根等高树枝

$\omega_1$为什么不满足树特性

Aronszajn树

证明递归地构造树$(\omega^{<\omega_1},<)$的一棵子树$(T,<)$的层次序列$\langle T_\alpha\mid \alpha<\omega_1\rangle$以期每一层$T_\alpha$都满足下述要求：

(a)$T_\alpha\subset\omega^\alpha,|T_\alpha|\leq\aleph_0$

(b)如果$f\in T_\alpha$，那么，$f$是一个单射，并且$\omega-\mathrm{rng}(f)$是一个无穷集合；
(c)如果$f\in T_\alpha$，以及$\beta<\alpha$那么，$f\upharpoonright_\beta\in T_\beta$

(d)$\forall\beta<\alpha\forall g\in T_\beta\forall X\in[\omega-\mathrm{rng}(g)]^{<\omega},\exists f\in T_\alpha(g\subset f\wedge X\cap\mathrm{rng}(f)=\varnothing)$

\(T_0=\{\varnothing\}\)
设$\alpha=\gamma+1<\omega_1$以及$T_\gamma$已经有定义，并且条件(a)至(d)都被$T_\gamma$所满足
定义

\[T_\alpha=T_{\gamma+1}=\{g\cup\{(\gamma,n)\}\mid g\in T_\gamma\wedge n\in(\omega-\mathrm{rng}(g))\}\]

这样，$T_\alpha$满足条件(a)至(d)

设$0<\alpha<\omega_1$是一个极限序数以及$\forall\gamma<\alpha T_\gamma$已经有定义，并且条件(a)至(d)都被所有的$T_\gamma$所满足。
任意固定$\gamma<\alpha,g\in T_\gamma,X\in[\omega-\mathrm{rng}(g)]^{<\omega}$，我们递归地构造$f=f(g,X)$：
令$\langle\alpha_n\mid n<\omega\rangle$是一个单调递增收敛于$\alpha$的序列，并且$\alpha_0=\gamma$令$f_0=g\in T_{\alpha_0}$以及$X_0=X\in[\omega-\mathrm{rng}(f_0)]^{<\omega}$
假设$f_{n}\in T_{\alpha_n}$以及$X_n\in[\omega-\mathrm{rng}(f_n)]^{<\omega}$已经被定义。先取

\[X_n\subset X_{n+1}\in[\omega-\mathrm{rng}(f_n)]^{<\omega}\]

再根据条件(d)，取$f_{n+1}\in T_{\alpha_{n+1}}$满足

\[f_n\subset f_{n+1}\wedge X_{n+1}\cap\mathrm{rng}(f_{n+1})=\varnothing\]

令$f=\bigcup\limits_{n<\omega}f_n$，那么，
(i)$f:\alpha\to\omega$是一个单射

(ii)$X\cap\mathrm{rng}(f)=\left(\bigcup\limits_{n<\omega}X_n\right)\cap\mathrm{rng}(f)=\varnothing$，从而$|\omega-\mathrm{rng}(f)|=\aleph_0$
(iii)$\forall\beta<\alpha\left(f\upharpoonright\beta\in T_\beta\right)$

定义

\[T_\alpha=\left{f(g,X)\mid g\in\bigcup\limits_{\beta<\alpha}T_\beta\wedge X\in[\omega-\mathrm{rng}(g)]^{<\omega}\right}\]

由此，(a)和(d)被$T_\alpha$所满足；而依据$f\in T_\alpha$之定义，(b)和(c)被满足

这样，我们递归地定义了一个满足条件(a)至(d)的层次序列$\langle T_\alpha\mid\alpha<\omega_1\rangle$
令

\[T=\bigcup\limits_{\alpha<\omega_1}T_\alpha\wedge\forall f,g\in T(f<g\Leftrightarrow f\subset g)\]

树$(T,<)$是一棵怪树：其高度为$\omega_1$每一层$T_\alpha$可数；如果$B\subset T$是一根树枝，那么

\[\bigcup B:\mathrm{dom}(\bigcup B)\to\omega\]

是一个单射，所以$B$的长度$\ell(B)<\omega_1$

理解

首先，根据递归满足的条件，我们可以知道对于任何的函数$g$和任意足够大的序数$\alpha$都有$f\in T_\alpha$满足$g<f$，但是为什么又说每一根树枝都只有$\omega$长呢，树枝的加长是如何“停下来”的呢？

实际上确实有任意长的树枝，但是对于每一根具体的树枝它总会终结，因为在后继序数上一个个选的过程中我们选出了很多的$f_\beta$，而当我们选择更大极限序数$\alpha$对应的$f_\alpha$时我们就会犯难，因为根据证明中的构造，要保证$f_\alpha$还在一个更大的$X$上没有定义在我们给定的这条树枝上是不一定做得到的，后继序数上能够定义是因为我们可以简单地增加函数值，而对于后继序数几乎不可能做得到这一点，如果你简单地取所有后继序数的并并不能保证对你的并出来的函数$f$仍然有$\omega-\mathrm{rng}(f)$是一个无穷集合；而如果你和后继序数一样简单地加值则很难保证序关系的成立。换句话说，前面所有选定的$f_\beta$其实已经暗中固定了$f_\alpha$的值，使得我们的$f_\alpha$几乎没有挑选的余地，我们前进的方向实际上已经被$f_\beta$们固定死了，这一点读者可以思考恒等映射对应的那根树枝，很容易理解，形象地说就是如果要继续增大，我们几乎必定会偏离我们现在前进的“路径”，从而，尽管我们有任意长的树枝，但是每一根树枝都几乎会在极限序数上“吃瘪”，停止前进。正是因为这样的原因我们才保证每根树枝都只是可列长，而且是存在一个上界的。

总结来说，这个证明实际上是在小心翼翼地往每一个函数里加定义的值，但是我们任意选的树枝上没有办法保证我们是“小心翼翼”地加的值，所以扩张几乎必定会结束，只有那些“小心翼翼”地加值的树枝才能越过极限序数继续往后（但是也肯定会在某个极限序数“吃瘪”）。

$\omega_1$反链

这部分书¹上没有说，但是我觉得有必要说明一下。书上后面说苏斯林树的存在性独立于ZFC体系，其中一棵树$(T,<)$是一棵苏斯林树当且仅当$\mathrm{ht}(T)=\omega_1,(T,<)$既没有不可数的反链，也没有等高树枝。而反链又是指一个子集合，其中任意两个元素都没有序关系。

既然苏斯林树的存在性独立于ZFC，那么我们构造出来的这个怪树就必须有不可数反链，我思考之后觉得可以这样去找（未严谨论证，仅说明思路）：我们尝试去每一层$T_\alpha$中找一个和之前所有已经找出来了的函数都没有序关系的元素，这样找到最后就肯定是一条不可数反链；找法可以参照康托尔对角线证明的思路，从每一个已经找出来了的函数的定义域里选一个$\alpha$，然后保证新的这个函数与在所有这些$\alpha$上都没有定义即可。

$\omega$满足树特性的证明为什么不能推广

柯尼希引理

首先书中证明了$\omega$是满足树特性的（定理2.41 柯尼希引理），证明如下：

设$(T,<)$是一棵高度为$\omega$的有限分叉树。对于$x\in T$令

\[S(x)=\{y\in T\mid x<y\wedge ( x , y )_<=\varnothing\}\]

为$x$的直接后继节点的集合，且这些集合都是有限集合。

令$c$为$\mathfrak{P}(T)$上的一个选择函数。定义$g:T\times\omega\to T$ 如下：

\[g(x,n)=c(\{y\in S(x)\mid y的后继之集合\{z\in T\mid y<z\}是一个无穷集合\})\]

令$b_0$为$(T,<)$的树根。归纳地，假设$b_n\in T$已经定义，并且\(\{y\in T\mid b_n<y\}\) 是一个无穷集合。令$b_{n+1}=g(b_n,n)$那么，$b_n<b_{n+1}\in T$，这是因为

\[\{y\in T\mid b_n<y\}=\bigcup\limits_{b\in S(b_n)}\{y\in T\mid b=y\vee b<y\}\]

从而，集合\(\{b\in S(b_n)\mid b\}\)的后继之集合\(\{z\in T\mid b<z\}是一个无穷集合\}\)是一个非空集合。

令\(B=\{y\in T\mid\exists n<\omega(y=b_n\vee y<b_n)\}\)那么，$B$是$(T,<)$的等高树枝。

为什么不能推广

结合书中给出的例子（$\omega_1$的例子）和思考，一步一步地证明，我们会发现推广失败是卡在最后序列$\langle b_n\rangle$的定义上了。首先，对于任意的正则基数$\kappa$，序列必须增大到$\langle b_\gamma\rangle$以适应可能出现的极限序数（这在$\omega$中是不会出现的），同样的使用归纳法尝试推广定义，后继序数没什么好说，完全一样，问题主要是出现在极限序数上。

对于极限序数$\alpha$，情况则出现了很大变化，我们的目的是定义出序列上的$b_\alpha$满足$\forall \beta<\alpha(b_\beta<b_\alpha)$，这个要求是很苛刻的，因为我们前面用来递归定义的函数$g$只能保证相邻两项的关系，不能保证选出来的$b_n$和前面所有元素都有关系，这个关系实际上是靠递归得到的，而对极限序数，没有前一项了，如何确保关系的存在呢？事实上我们没有办法保证可以找到我们期望的这个$b_\alpha$，在$\omega_1$的例子中我们就是卡在这里了，因为前面的$b_\beta$们太多了，它们已经基本上确定了我们要找的这个树枝的“行进路径”，为了保持良序，我们的$b_\alpha$如果存在就必须在一个几乎是“固定”的位置上，这不容得我们去随意挑选。不过这也并无大碍，最重要的问题是有可能根本不存在$b_\alpha$满足我们的条件，我们的树枝也走向了终点（这一点依然可以从$\omega_1$的例子中认识到）。

康托尔唯一性定理

页数：241页（书220页）

书中证明

命题：如果$(X,<)$是一个序完备的无端点稠密线性有序集合，并且包含一个在其中处处稠密的可数无穷子集合，那么$(X,<)\cong(\mathbb R,<)$

证明：设$(X,<)$是一个序完备的无端点稠密线性有序集合，以及$D\subset X$是一个在$X$中处处稠密的可数无限子集，那么，$(D,<)$是一个可数的无端点稠密线性有序集合。根据康托尔同构定理（定理1.38），令

\[f : ( D , < ) \cong ( \mathbb { Q } , < )\]

对于每一个$x\in X$，令\(D_x=\{a\in D\mid x\leq a\}\)，以及$B_x=f[D_x]$和$A_x=\mathbb Q-B_x$并且定义

\[F ( x ) = A _ { x }\]

那么，$F:(X,<)\cong(\mathbb R,<)$

问题

我的问题主要是关于条件：$(X,<)$是一个序完备的无端点稠密线性有序集合，这个条件很强，可是我并没有看到其在证明中的哪一步被使用了，即使第一步得到$D$满足这样的条件，我们也完全可以将条件限制在$D$上，而不用对$X$进行这样的约束。不过在AI提醒下，我注意到证明中并没有证明映射$F$是双射，而正巧双射的证明中就需要这些条件的对应，所以$X$确实必须满足这样的条件。

代数

页数：257页(236页) 定义3.19
设$X$是一个集合。设$\mathscr A\subseteq\mathfrak P(X)$称$\mathscr A$是$X$上的一个代数当且仅当
(1)$X\in\mathscr A$
(2)如果$A\in\mathscr A$，那么$X-A\in\mathscr A$
(3)如果$A\in\mathscr A,B\in\mathscr A$，那么$A\cup B\in\mathscr A$

也称$\mathscr A$为$X$上的一个$\sigma$-代数当且仅当它是一个代数，并且
(4)如果$\langle A_n\mid n<\omega\rangle$是一个源自$\mathscr A$的序列，那么$\bigcup\limits_{n<\omega}A_n\in\mathscr A$

由于任意多个$\sigma$代数交都是一个代数（练习3.2），所以存在$\subseteq$关系下最小的$\sigma$代数，我们称这个代数中的子集为傅雷尔子集。

波兰空间

页数：275页(书254页)
称一个拓扑空间$(X,\tau)$为一个波兰空间当且仅当它与一个可分完备距离空间拓扑同胚。

可分：存在$A\subseteq X$满足$A$可数（可列），而且在$X$中处处稠密（与任何非空开集都有交）。
完备：任何柯西序列都有极限
拓扑同胚：映射$f$是一个拓扑同胚映射当且仅当$f$是一个连续双射，并且$f^{-1}$也是一个连续函数（若像集是开集，则原象集也是开集）
柯西序列：对于空间$\mathbb X$，有距离函数$d$，序列$\langle a_n\mid n<\omega\rangle$是柯西序列，当且仅当满足

\[\forall\epsilon\in\mathbb R^+\exists N\forall n,m\in\mathbb X((N<n\wedge N<m)\to d(a_n,a_m)<\epsilon)\]

距离空间：存在空间上的距离函数
距离函数：
设$(X,\tau)$为一个拓扑空间.称拓扑空间$(X,\tau)$是可距离化的当且仅当存在一个具备下述三条基本性质的从$X^2$到\(\mathbb R^+\cup \{0\}\)上的映射$d$（称$d$为其上的距离函数）
(1)$\forall x\in X\forall y\in X((d(x,y)\geq 0)\wedge(d(x,y)=0\rightleftarror x=y))$
(2)$\forall x\in X\forall y\in X(d(x,y)=d(y,x))$
(3)$\forall x\in X\forall y\in X\forall z\in X(d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z))$

1. 冯琦集合论（ZLibrary 2019年版） ↩︎ ↩︎²

2. 补集：$\complement_U A$表示$A$在$U$中的补集 ↩︎ ↩︎²

3. 无界闭子集滤子$\mathscr C_\kappa$是在$\kappa$上的一个滤子，$X\subset\kappa(X\in\mathscr C_\kappa\leftrightarrow\exists C\subset X\wedge C是无界闭子集)$ ↩︎