冯琦集合论滤子、理想笔记

最开始我看书¹第二章看到滤子、理想、对角线交等等东西时，应该和大多数读者一样觉得，这都什么乱七八糟的，有什么用吗？感觉更像是莫名其妙，理想倒是在环里学过，但是和这里定义的理想貌似不是一回事啊。去网上搜索、问AI都得不到好的结论（甚至可以说没有什么结论，没有增加我的半点了解）。不过当我忍着看了几十页之后，逐渐对这些莫名其妙的概念有了一些了解，遂在此予以记录。

滤子和理想

这一章最中心的东西就是滤子、理想，所以很有必要先在这里先写一下两者的相关的定义

滤子

设$X$是一个非空集合，$X$的幂集$\mathfrak P(X)$的一个子集合，$\mathscr F$是$X$上的一个滤子当且仅当

1) $X\in\mathscr F$以及$\varnothing\notin\mathscr F$
2) 如果$A\in\mathscr F$以及$B\in\mathscr F$，那么$A\cap B\in\mathscr F$
3) 如果$B\subseteq A\subset X$以及$B\in\mathscr F$，那么$A\in\mathscr F$

$X$ 上的一个滤子 $\mathscr { F }$ 是 $X$ 上的一个超滤子当且仅当

4) 如果$A\subset X$那么或者$A\in\mathscr F$，或者$(X-A)\in\mathscr F$

平凡超滤子是形如：

\[\mathscr F_a=\{A\subseteq X\mid a\in A\}\]

理想

设$X$是一个非空集合。$X$的幂集$\mathfrak P(X)$的一个子集合$\mathscr I$是$X$上的一个理想当且仅当

1) $X\notin\mathscr I$以及$\varnothing\in\mathscr S$
2) 如果$A\in\mathscr I$以及$B\in\mathscr I$那么$A\cup B\in\mathscr S$
3) 如果$B\subseteq A\subset X$以及$A\in\mathscr S$，那么$B\in\mathscr S$

$X$ 上的一个理想 $\mathscr { I }$ 是 $X$ 上的一个素理想当且仅当

4) 如果$A\subset X$那么或者$A\in\mathscr I$，或者$(X-A)\in\mathscr I$

---

根据书中的定义我们还可以知道，$X$上的滤子$\mathscr F$是一个超滤子当且仅当$\mathscr F=\mathscr F^+$；$\mathscr I$是一个素理想当且仅当$\mathscr I^+=\mathscr I^*$，其中 1) \(\mathscr I^+=\{A\subseteq X\mid A\notin\mathscr I\}\) 2) \(\mathscr I^*=\{A\subseteq X\mid(X-A)\in\mathscr I\}\) 3) \(A\in\mathscr F^+\Longleftrightarrow\forall B\in\mathscr F(A\cap B \neq\varnothing)\) 4) \(\mathscr F^*=\{A\subseteq X\mid(X-A)\in\mathscr F\}\)

这部分的定义十分突兀，而且也很莫名其妙，尤其是理想这个名字很容易让人想到环论里的理想，但是这两者却没有丁点的相似性。而且在我后面的阅读中也发现这两者几乎就是没什么用，在第二章后半部分中最主要的只是一个特例²，只有这一个例子是最主要出现的，而且理想也主要是它的对偶理想。此外主要应用的也是无界闭子集滤子的无界闭子集性质，主要还是看重了无界闭子集元素充分多的性质。

不过在第三章实数中也有出现，此时就基本不是无界闭子集滤子了，而滤子也正像其名字一样，真正地是从一大堆子集中筛选出满足某种性质的子集，只不过和使用普通的子集相比，使用滤子能够更清楚地知道你在干什么，收集的是什么，而且滤子有许多工具可以直接得到，省去不少麻烦。

不过在第二章中主要用到的还是无界闭子集滤子²，这个滤子经常在后面使用。

对角线交、并

定义

为了掌握无界闭子集滤子²，我们首先要理解对角线交和对角线并，尤其是对角线交，可谓是后面内容的基础，正是基于它们，我们才能定义滤子和理想的可加性、完全性（这也会用在无界闭子集滤子上），包括许多证明也都用了类似的结构。

尽管它们定义地十分奇怪：
对角线交：（181页，书160页）

设$\kappa$是一个不可数正则基数，设$\langle C_\alpha\mid\alpha <\kappa\rangle$是长度为$\kappa$的，在$\kappa$中无界的闭子集序列，这个序列的对角线交定义如下：

\[\Delta_{\alpha<\kappa}C_\alpha=\{\gamma\in\kappa\mid\forall\alpha <\gamma(\gamma\in C_\alpha)\}\]

对角线并：（184页，书163页）

设$\kappa$是一个不可数正则基数，设$\langle X_\alpha\mid\alpha <\kappa\rangle$是长度为$\kappa$的非荟萃子集序列，这个序列的对角线并定义如下：

\[\nabla_{\alpha<\kappa}X_\alpha=\{\gamma\in\kappa\mid\exists\alpha<\gamma(\gamma\in X_\alpha)\}\]

这两个定义看起来莫名其妙，而且为什么这样定义也不知道，首先我们需要知道为什么不能之间求交，然后我们再来理解为什么这样定义。

求交？

根据完全性³，我们很容易想到能不能直接对$C_\alpha$求交来得到一个无界闭子集$C$，可惜书中也证明了，这是不可以的，因为交出来的$C$甚至有可能是空集，究其原因是无界闭子集$C_\alpha$只关心“无界”，对于起始的项不怎么关心，而在一步步求交的过程中，首项一个个地被“吃掉”消失，比如递归定义如下序列：

\[C_0=\kappa,C_{\alpha}=\kappa-\alpha\]

我们逐步地“蚕食”$C_\alpha$的首项，如果你对它们求交，求$\gamma<\kappa$次后还有很多序数留下，从而还是无界闭子集³，可是一旦求交次数达到$\kappa$，那事情就不一样了，每一个$\gamma<\kappa$都不会在交集中，你交出来只会得到$\varnothing$，这正是求交“顾尾不顾头”的特殊性质导致的。

初步理解

书中有过解释，因为我们简单地取所有$C_\alpha$的交集并不能保证交集仍然是无界子集，但是我们又需要一个运算，使用所有$C_\alpha$，然后得到一个$C$是无界闭子集。而求交又不能保证无界，所以我们首要目标是知道怎么构造一个无界序列，然后由此拓展为我们需要的集合$C$。回顾求交的过程，我们发现求交其实是要他们共同的部分嘛，如果是无穷交，那我们还不是得一步步地从第一项开始求交，然后一步一步地推广到后面去。但是这样为什么会变成有界子集呢？ 很明显，肯定是我们丢掉的元素太多了，自然我们得想办法放宽要求。回顾我们证明无界闭子集的有限交仍然是无界闭子集的过程，我们会注意到这样一个结构：

\[\alpha_{2m+2}=\min(C_0-(\alpha_{2m+1}+1))\]

和

\[\alpha_{2m+3}=\min(C_1-(\alpha_{2m+2}+1))\]

让我们仔细认识一下这个结构，这个结构出现在$C_0\cap C_1$无界的证明中，它是交替在$C_0,C_1$当中取$\alpha_{2m}\in C_0$和$\alpha_{2m+1}\in C_1$。由于$C_0,C_1$都是无界的，这样套娃取是无穷无尽的，最后取$\bigcup$，我们就能够得到属于$C_0\cap C_1$的比任何序数大的一个（极限）序数。

为什么我要提这个呢？让我们来仔细想一想🤔，如果现在要让你证明$C_0\cap C_1\cap C_2$也无界呢？那是不是在$C_0,C_1,C_2$之间交替地取元素啊，最后再将他们全部并起来，对吧？如果是四个、五个甚至更多的$C_i$求交，那都是一样的吧。进一步地，如果是无穷多个，我们仍然按照这个思路，先取一个$\gamma_0$在$C_0$，再一个$\gamma_1$在$C_1$ · · · 任意$\gamma_\alpha$在$C_\alpha$，而且一个比一个大，最后将这些$\gamma_\alpha$全部并起来，应该是在我最后应该得到的无界闭子集$C$中的某个序数吧。

细心的读者可能已经注意到了，这些$\gamma_\alpha$不一定有$\forall \beta<\alpha (\gamma_\alpha\in C_\beta)$，因为$\gamma_\alpha$属于$C_\alpha$，但是大于$\gamma_\beta$，所以是否属于$C_\beta$是未知的。可是回顾我们求交的过程，一步步求交下来，得到的集合好歹也得在前面已经交完了的集合里啊，总不能求交，求着求着冒出来一个没见过的元素吧，不过好在我们很容易就可以修改。

改进

所以前面的求法还有待改进，为了避免这样尴尬的情况出现，我们改进要求

\[\gamma_\alpha\in D_\alpha,D_\alpha=\bigcap\limits_{\beta<\alpha}C_\beta\]

为什么这么要求呢？首先，书¹中对角线交定义的上一页先证明了$\kappa$-完全性³，也就是说每个$D_\alpha$都是一个无界闭子集。而且这样定义之后我们便保证每一个$\gamma_\alpha$也在任何的$C_\beta$中了。

至此我们便找到了一种求得在我们的目标集合$C$中的一个无界序列的方法，接下来我们就可以尝试将它们拓展到集合里了。

总结

找到序列之后剩下的事情就好办了，为了保证所有的$\gamma_\alpha$都在$C$中，我们就尽可能将$D_\alpha$都包含进来嘛，但是也不能完全包含了，不然那求出来不就是$C_0$了吗。结合求交“顾尾不顾头”的性质，我们就对头放宽要求嘛，这样就不会导致求着求着被“蚕食”了，也就是说对于前面的序数，我们只要求它在某几个$C_\alpha$中就好了，那很明显，我们就这样要求：$\gamma\in D_\gamma$，对于大的序数，我们就要求它在更多的$C_\alpha$中，对于小的序数，要求就小得多。

但是这个定义很眼熟呢？请读者仔细看看，这不就是对角线交的定义吗，完全一样啊。这说明对角线交就是一种合理的交的推广。此外这看起来也确实像对角线，就好像上（下）三角矩阵一样，因而称作对角线我觉得也比较得合理。

而并作为交的对立面，对角线并将无界闭子集改成非荟萃子集，任意改成存在也是十分合理的。毕竟并的问题在于对“头”的要求太低了，以至于很有可能并到最后全并进去了，所以加强对“头”的要求很重要；此外并是要扩大集合，不能还$\forall$吧，自然得改成$\exists$，一切都是如此得自然。

注：书¹中还有主对角线交（201页，书180页）也是类似的推广，我认为性质上是差不多的。

荟萃子集

荟萃子集也是在书中经常出现的东西，它可谓是贯穿了书¹第二章后半段，它首次出现在184页（书163页）定义2.20，定义如下：
称$X\subset\kappa$为$\kappa$的一个荟萃子集，当且仅当²

\[\begin{equation} \forall A\in\mathscr C_\kappa(X\cap A\neq\varnothing) \label{eq:def-1} \end{equation}\]

也就是说当且仅当$X$和所有的无界闭子集都有交，不过教材¹就没有更多的语句来讲解荟萃子集了，所以我自己花了一些时间进行探索，现在将一些结论和证明列举，应该有助于大家理解

交集

定义 \eqref{eq:def-1} 中要求仅仅是有交，我们难免会想到，那有交也有可能只有有限个交啊，比如——1个？我们能不能保证交有很多？甚至$\kappa$个呢？答案当然是可以的，而且证明也很简单，取一个荟萃子集$A$和一个无界闭子集$C$，我们可以构造性地给出$A$的一个无界子集来，如下：
首先，定义$\alpha_0\in A\cap C$，然后注意到$\forall\alpha<\kappa(C-\alpha)$⁴也是无界闭子集（读者自证不难）所以递归定义$\alpha_{\gamma+1}\in A\cap (C-\alpha_\gamma)$，当$\gamma$是极限序数时定义$\alpha_\gamma\in A\cap(C-\bigcup\limits_{\beta<\gamma}\alpha_\beta)$，显然序列$\langle\alpha_\gamma\rangle$是$A$中的一个无界子集。

这个事实说明了两件事，第一，荟萃子集和无界闭子集之间的交肯定是无界子集，也就是说交有无穷多个；第二，$A$肯定也是无界子集，也就是说荟萃子集肯定是无界子集 （但是不一定是无界闭子集） ，但是自然而然地我们要问：任何无界子集都可以吗？没有其他要求吗？这正是我们接下来要讨论的问题，不过首先让我们来看一个具体的例子。

无界非闭但是荟萃子集

这里我们举的例子是\(A=\{\alpha<\kappa\mid \mathbf{\alpha}=\omega\}\)，很明显这是一个无界子集，而且与任何无界闭子集都有交（在无界闭子集里取一个$\omega$长的序列并起来不就是了），最重要的是我们要说明它不能包含任何一个无界闭子集，我们采用反证法，假设有一个无界闭子集$B\subset A$，证明的思路也比较明确，要推出矛盾，要么从无界闭子集性质入手推出某些性质$B$不满足；要么从定义，否定无界，或者否定闭。这里我们采用否定闭。

要否定闭集，我们就得找到一个序列$\langle\alpha_\beta\rangle$，使得$\gamma=\bigcup\limits_{\beta<\kappa}\alpha_\beta\notin B$，而最简单的不在$B$的方式就是证明$\mathbf{cf}(\gamma)>\omega$，下面我们就来尝试构造这样的序列。

自然，直接进行构造是不合适的，因为我们没法保证$\mathbf{cf}(\mu)>\omega$，所以为了满足我们的期望，我们需要先找一个序数$\mu\in\kappa\wedge\mathbf{cf}(\mu)>\omega$，然后想办法通过映射来证明某个极限点$f(\xi)=\mu\wedge\mathbf{cf}(\xi)=\mathbf{cf}(\mu)$，这其中最简单的方法就是使得$f(\mathbf{cf}(…))=\mathbf{cf}(f(…))$，下面我们来递归地定义$f$：

对于后继序数$\beta+1$，

\[\alpha_{\beta+1}=\min(B-\bigcup\limits_{\theta<\beta+1}\alpha_\theta)\]

而对于极限序数$\beta$，

\[\alpha_\beta=\min(B-\bigcup\limits_{\theta<\beta}\alpha_\theta)\]

然后$f(\alpha_\beta)=\beta$

很明显，对于极限序数$\beta$，$\alpha_\beta$也是$B$中的极限序数，因为$\forall\theta<\beta(\alpha_{\theta+1}<\alpha_\beta)$，不过值得一提的是对于后继序数$\beta$不一定有$\alpha_\beta$是后继序数，也有可能是极限序数（比如单独就这一个极限序数，也没有逼近它的子序列）。

很明白，任何逼近于$\mu$的序列，也会唯一地对应一个逼近于$\alpha_\mu$的序列，但是我们考虑到$\mathbf{cf}(\alpha_\mu)=\omega$，所以$\mathbf{cf}(\mu)=\omega$，但是我们前面已经假设了$\mathbf{cf}(\mu)>\omega$，这就是一个矛盾！也就是说我们找到的这个序列$\langle\alpha_\beta\rangle$的极限点不在$B$中，所以$B$不能是一个闭子集！

所以我们可以得出结论——任何无界闭子集都不能包含于$A$中，那么我们这里构造的$A$就是一个货真价实的无界非闭子集，但是又是荟萃子集。

其他限制

首先，是任何无界子集都可以吗？很显然，不是这样的，比如一个不包含极限序数的无界子集就不是，因为无界闭子集肯定包含极限序数。那包含极限序数就可以吗？也不一定，很显然我们还要限制包含极限序数的个数，也就是必须包含$\kappa$个极限序数（否则很容易找出与之无交的无界闭子集）；其次，极限序数的种类我们也得限制，我们这里所论的极限序数应当是你的极限点，而不是随意的什么极限序数。这两点我想是很明白的，读者也很容易想清楚，我就不再赘述。 以上的限制等价为数学说法就是无界子集$A\cap A’$⁵也是无界的，可是即使我们加上这个，条件充分了吗？事实上我尝试了三个小时仍然没有证明的方法，因而只得暂时搁置（注：我还思考过加强条件至$A\cap A^{(\alpha)}$都是无界子集，可是仍然无法证明）。而且向AI询问之后（AI称荟萃子集为固定集）我发现这是一个比较困难的命题，因此我最终放弃了证明，不过有一些等价命题，比如下面这个

Fodor’s引理（或下压引理）

如果 $\kappa$ 是一个不可数正则基数，$S \subseteq \kappa$ 是一个荟萃子集，等价于存在一个函数$f: S \to \kappa$ 满足$\alpha\neq 0\to f(\alpha)<\alpha$，且存在某个序数 $\beta < \kappa$，使得 $f$ 在 $S$ 的一个荟萃子集上是常数。

此外，根据选择函数定理我们可以知道，一个荟萃子集上还能找到它的一个子集合也是荟萃子集，这更使得荟萃子集套娃起来，更加混乱了。

总结

那么什么是荟萃子集呢？首先，我们得理解无界闭子集，因为荟萃子集就定义在这之上。无界闭子集就像是序数的一个缩影，你研究任何问题都避不开它，它也能够双射地映射到序数之上，而且这个映射是保$\bigcup$的，因此它表现地好像就是序数本身，而各种定义的放宽自然也都基于无界闭子集，放宽到无界闭子集上可以保证我们想要的性质，同时又不至于要求那么强的条件。

而荟萃子集又是于任何无界闭子集都有交的集合，也就是说我们对序数的任何放宽都不可避免地包含了这个子集的一个部分（而且是无界的），所以我们必须得要讨论它的性质，因为它充分“大”以至于任何无界闭子集里都无法忽视它。

模理想，几乎处处

读者了解了上面的荟萃子集之后，我们还可以深入地了解什么叫做模理想几乎处处…（不交、小于等等），当然，这里的理想主要是无界闭子集滤子²的对偶理想，甚至大多数时候更进一步是可数子集理想$NS_\omega$[^keshuzijilixiang]。我们前面说荟萃子集是一个充分“大”的子集，以至于你使用任何无界闭子集近似都必须得要考虑它们的存在，同样的道理，我们可以猜到，它们就是一种“可有可无”的存在，所以即使两个集合在这样的一个集合上有交，也不是什么很重要的事情，我们总可以选择某个测度（无界闭子集）绕开它们，相对于将它们直接忽略掉，所以叫几乎处处…，因为确实是几乎处处都满足条件，而不满足的地方特别少，我们总是可以忽略它们。

[^keshuzijilixiang]: 记可数子集理想为$I$，$I$收集了集合中所有可列的子集，也就是说$$X\in I\leftrightarrow

X

\leq\omega$$

1. 冯琦集合论（从Z-Library上下载的） ↩︎ ↩︎² ↩︎³ ↩︎⁴ ↩︎⁵

2. 无界闭子集滤子$\mathscr C_\kappa$是在$\kappa$上的一个滤子，$X\subset\kappa(X\in\mathscr C_\kappa\leftrightarrow\exists C\subset X\wedge C是无界闭子集)$ ↩︎ ↩︎² ↩︎³ ↩︎⁴ ↩︎⁵

3. 设$\kappa$是一个不可数正则基数，设$\langle C_\alpha\mid\alpha <\gamma\rangle$是长度为$\gamma$的，在$\kappa$中无界的闭子集序列，那么\(C=\bigcap\limits_{\alpha<\gamma}C_\alpha\)也是一个无界闭子集。（180页，书159页） ↩︎ ↩︎² ↩︎³

4. 集合的减法$A-B$，即是集合\(\{x\in A\mid x\notin B\}\) ↩︎

5. 对于序数集合$A$，$A’$表示$A$的极限点组成的集合，递归地还有$A’’$、$A’’‘$等等， 并且本文中还用$A^{(\alpha)}$来表示取了“$\alpha$”次极限点之后的集合，严谨地：$A^{(\alpha+1)}=(A^{(\alpha)})’$，对于极限序数$\alpha$，定义$A^{(\alpha)}=\bigcup\limits_{\beta<\alpha}A^{(\beta)}$（我的习惯，但是本文尚未使用） ↩︎