解决的集合论问题

集合势的定义

问题见我的集合论问题

原定义:

\[\vert X\vert=\{y\mid\vert y\vert = \vert X\vert \wedge\forall z (\vert z\vert = \vert X\vert \rightarrow RK(y) \leq RK(z))\}\]

我当时说:

这意味着$y$与$X$等势，但是我们又考虑到任意序数总和某个基数等势

但是，实际上这句话并不对，因为定义中并没有说$y$是一个序数，实际上，$y$也不是任何的序数，它只不过是一个不能秩序化的集合。我当时认为$RK()$只对序数有定义，可是实际上$RK()$对任何集合都有定义（原始定义在PDF 100页，书79页），都是指对应包含$y$的最小的$V_\alpha$对应的$\alpha$，即映射为一个序数

因而，这里有一些奇怪的点，我们定义出的$\vert X\vert$包含了许多的$y$，乍一看这很奇怪，但是细想又很正常，毕竟里面不可能放序数，只能把所有的$y$收集起来，不过一般地收集最小的$y$也足够了。

强极限基数性质

问题见我的集合论问题

实际上书中的这个命题并不是很严谨，但是也不完全是错误的。因为唯一不满足等式的就是$\omega$，毕竟它是我们定义$\aleph$序列的起点。而如果我们将其去除，剩下的所有基数都满足等式，这是因为对于剩下的所有 极限基数 有如下等式存在

\[\begin{equation} \mathbf{cf}(\alpha)=\mathbf{cf}(\aleph_\alpha)\vee \alpha=0 \label{eq:1} \end{equation}\]

这很容易证明，对于极限基数$\aleph_\alpha$，其序数$\alpha$也是极限序数，对于他们两个中任意一个无界子集，我们都很容易定义一个对应关系$f: \beta \leftrightarrow \aleph_\beta$，这说明两者的无界子集长度必定是相等的，也即上述等式成立。

总而言之，我证明的等式对于所有基数（不必是强极限基数）都成立，而对大于$\omega$的极限基数（也不必是强极限基数），我的等式与书上的等式都成立，因为 \eqref{eq:1} 是成立的

此外，借助等式\eqref{eq:1}，大家也很容易理解为什么对于不可达基数（而且我觉得正则基数也应该满足）要满足$\aleph_\alpha=\alpha$了（详见不可达基数）