选择公理应用

选择公理(AC)等价命题见结论记录

基数运算性质

这个结论来自书¹147页，以下三条性质都需要使用选择公理进行证明

• $2^\kappa>\kappa$或$2^\kappa\geq\kappa^+$
• 若$\alpha\leq\beta$，则$2^\alpha<2^\beta$
• 若$\alpha\in Ord$，则$\mathbf{cf}(2^{\aleph_\alpha})>\aleph_\alpha$

$\aleph$数和基数关系

网上有人，也包括AI都回答这个问题说需要AC才能保证所有的基数都是某个$\aleph$，但是实际上我在翻阅书¹之后，发现书中107页定理1.90就已经给出证明了，结论成立，而且不需要AC参与证明

其他重要性较低的命题

$\omega_1$上非平凡的$\omega_1$-完全的超滤子

见我的笔记

1. 冯琦集合论 ↩︎ ↩︎²