集合论重要结论

良序化充要条件

页数：130页
注：

• 书中秩序化就是良序化，是一个意思
• 这个结论不依赖选择公理

结论

一个无穷集合$X$是可秩序化的充分必要条件是$X$与某一个基数$\aleph_\alpha$等势

证明

⇒：根据书中上文结论可秩序化就可以和某序数$\alpha$同构，从而与某基数$\beta=\aleph_\gamma$等势，得证。

⇐：若$X$与基数$\aleph_\alpha$等势，即存在双射$f:\aleph_\alpha\to X$，自然地根据这个双射$f$定义$<_f$即可，对于这个序关系$<_f$秩序化$X$，得证。

其他

若不使用选择公理，不仅不能保证任何集合都可以秩序化，甚至仅对于传递集合都不能保证他们和序数同构或者可秩序化，比如$V_{\omega+1}$就不一定可以秩序化。而且如果这个结论是成立的，那任何集合$X$都有$X\subseteq \mathcal{TC}(X)\subseteq V_\alpha = \mathcal{RK}(X)$从而可秩序化

选择公理等价形式

此处列出书上出现的全部选择公理等价形式

1. 选择公理:(PDF 157页，书136页)
   在任何集合上都存在选择函数
2. 良序原理:(PDF 157页，书136页)
   每个集合都可以排成良序集
3. 每个集合都和基数等势(PDF 157页，书136页)
4. (PDF 157页，书136页) $\forall X \forall Y(|X|\leq|Y|\vee |X|\geq|Y|)$
5. 佐恩引理:(PDF 158页，书137页)
   任意给定一个偏序集合$(P,\leq)$, 如果它的每一条链都有一个$\leq$-上界， 那么，此偏序集必有一个$\leq$-极大元
6. 如果$E$是非空集合$X$上的一个等价关系，那么商空间$X/E$上有一个选择函数(PDF 159页，书138页)
7. 如果$I$是一个非空集合并且对于每一个$i\in I$, $X_i$是一个非空集合，那么存在一个满足下述要求的定义在$I$上的函数$f$:$\forall i \in I,f(i)\in X_i$，即
   \(\prod\limits_{i\in I}X_i= \{ f\mid f:I\to \bigcup \{ X_i\mid i\in I \} \wedge\forall i \in I (f(i)\in X_i)\} \neq\varnothing\)(PDF 159页，书138页)

补充

选择公理应用可见文章选择公理应用

选择函数

对于一个给定的非空集合$S$,$S$上的一个选择函数$c$是一个从$S$到${\varnothing}\cup \bigcup{S}$上的满足如下要求的映射：

\[\forall x\in S(x\neq \varnothing \to c(x)\in x)\]

以及如果$\varnothing\in S$则$c(\varnothing)=\varnothing$.

良序原理

书上也叫秩序化原理，“排成良序集”书上也叫“秩序化”

链

对于偏序集$(P,\leq)$而言，$A\subset P$是$(P,\leq)$上的一条链当且仅当$(A,\leq)$是 一个线性有序集合

强极限基数

定义

强极限基数:
称一个无穷基数$\aleph_\alpha$。为一个强极限基数当且仅当

\[\forall \beta<\alpha(2^{\aleph_\beta}<\aleph_\alpha)\]

不可达基数:
称一个不可数基数$\kappa$为一个不可达基数当且仅当$\kappa$是一个正则强极限基数

性质

强极限基数

1. $\forall\alpha\in Ord\ \exists\gamma\in Ord(\alpha<\gamma=\vert V_\gamma\vert)$
2. 如果$\alpha\in Ord$并且$\alpha=\vert V_\alpha\vert$，那么$\alpha$是一个强极限基数
3. 如果$\aleph_\alpha$是一个强极限基数，那么$2^{\aleph_\alpha}=\aleph_\alpha^{\mathbf{cf}(\alpha)}$(我对这点有怀疑)，并且对于任意的两个无穷基数$\kappa<\aleph_\alpha,\lambda<\aleph_\alpha$，都有$\kappa^\lambda\leq(\kappa\cdot\lambda)^{\kappa\cdot\lambda}=2^{\kappa\cdot\lambda}<\aleph_\alpha$
4. 一定是一个极限基数

不可达基数

证明见我的练习

设$\kappa$是一个不可达基数

1. 如果 $|X|<\kappa$，那么$|\mathfrak P(X)|<\kappa$
2. 如果 $|S|<\kappa$，并且$\forall X\in S(|X|<\kappa)$，那么$|\bigcup S|<\kappa$

3. 如果 $|X|<\kappa$以及$f:X\to\kappa$，那么$sup(f[X])<\kappa$

4. \[|V_\kappa|=\kappa=\aleph_\kappa\]
5. 集合 \(\{\alpha<\kappa\mid\alpha=|V_\alpha|=\aleph_\alpha\}\)是$\kappa$的一个无界闭子集

广义连续统假设

页数：172页(书151页) 定义2.8
广义连续统假设(GCH)：

\[\forall \alpha\in Ord(2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\alpha+1})\]

推论：

• 任何极限基数都是强极限基数
• 对任意基数$\kappa$都有$2^{<\kappa}=\kappa$(可从定义出发证明)
• 奇异基数假设(SCH)成立，即：
  对于任意一个奇异基数$\kappa$而言，如果$2^{\mathbf{cf}(\kappa)}<\kappa$，那么$\kappa^{\mathbf{cf}(\kappa)}=\kappa^+$(这个假设比GCH弱得多，PDF 173页，书173页)

注

GCH不是连续统假设CH，CH只是说$2^\omega=\omega_1$，并不能推出GCH成立，有可能CH成立而GCH不成立

选择函数定理

页数：184页(书163页)定理2.26

设$\kappa$是一个不可数的正则基数，以及$X\subseteq\kappa$为$\kappa$的一个荟萃子集如果$f$是$X$上的一个选择函数，那么$f$必在$\kappa$的某个荟萃子集上的取值为常数

注

1. 定理假设选择函数存在，并不需要选择公理保证定理的正确性
2. 本定理推广时用来描述一个滤子（此处是荟萃子集滤子）的正规性：
   称滤子$\mathscr F$是正规的当且仅当$\forall A\in \mathscr F^+\ \forall f:A\to\bigcup A$如果$f$是$A$上的选择函数，那么$f$一定在某个$B\in\mathscr F^+$上取常值
3. 选择函数$f$确实是定义在$X$上的，没有错误，并且取常值的那个荟萃子集也是$\kappa$的荟萃子集（同时是$X$的子集）

马丁公理

页数：222页(书201页)定义2.38

设$\omega\leq\kappa$为一个基数。马丁公理$\mathrm{MA}_\kappa$是后述命题：如果$(P,<)$是一个满足可数反链条件的偏序集合，$\mathscr C$是$(P,<)$的不超过$\kappa$个稠密子集的集合，那么一定存在$(P,<)$的一个$\mathscr C$-泛善子集$F$

可数反链条件： 如果偏序集$(P,<)$的任何一条反链（一堆没有序关系的元素）的势都小于等于$\aleph_0$

稠密子集： 设$(P,<)$是一个偏序集。称$D\subset P$为$P$的一个稠密子集当且仅当$\forall p\in P\exists q\in D(p \leq q)$。

泛善子集： 对于$(P,<)$的稠密子集的一个非空集合$\mathscr C$而言，称$F\subset P$是$(P,<)$的一个 $\mathscr C$-泛善子集当且仅当
(1)$\forall p_1,p_2 \in F\exists q\in F(p_1\leq q\wedge p_2\leq q)$;
(2)$\forall p\in F\forall q\in P(q\leq p\to q\in F)$;
(3)$\forall D\in\mathscr C\exists p(p\in F\cap D)$.

马丁公理独立于ZFC公理体系，如果$\mathbf{MA}{\omega_1}$成立，那么则没有苏斯林树；而如果苏斯林树存在，$\mathbf{MA}{\omega_1}$也不存在，两者是等价的。

一棵树$(T,<)$是一棵苏斯林树当且仅当$\mathrm{ht}(T)=\omega_1$，且$(T,<)$既没有不可数的反链，也没有等高树枝

而且马丁公理对实数也有影响，第三章中证明了如果$\mathbf{MA}_\kappa$成立，那么实数轴上势不超过$\kappa$个稠密开子集的交还是稠密的。保证了一种很强的交。

单调递增实数序列

在正常实数序关系下，我们不能定义一个长度为$\omega_1$、严格单调递增的实数序列。这是因为有理数的稠密性，且是可数的。

如果不然，假设存在长度为$\omega_1$的严格单调递增序列$\langle x_\alpha\rangle$，对于每一个区间，取有理数$q_\alpha\in(x_\alpha,x_{\alpha+1})$，我们就可以得到长度为$\omega_1$的有理数序列，但是显然这是不可能的，所以序列$\langle x_\alpha\rangle$也不可能存在。

当然，最开始我们就强调了，是正常的序关系下，比如如果是实数的某个良序关系下，那我们可以很容易地找出一个单调递增序列来。可是正常序关系下不可以，是因为有理数的稠密性限制了实数序列的长度，有理数就像“标尺”，插在数轴上，限制着实数的长度。