集合论第二卷概念辨析

项、表达式、语句

项，即是表达式的基本组成单元，由常元、变元、函数符号、逻辑谓词、$=$拼接而成，比如$t_1=t_2,F(x_1,x_2,c_1,c_2)$等（$t_i,x_i$为变元，$c_i$为常元，$F$为函数符号）

表达式，即由项和逻辑连接符$\wedge,\vee,\neg,\rightarrow,\leftrightarrow$连接而成，比如$\forall t_1\forall t_2 t_1=t_2,\exists x_1 F(x_1,x_2,c_1,c_2)$等

语句，一种特殊的表达式，其中不含有自由变元，比如上面的$\forall t_1\forall t_2 t_1=t_2$就是语句，而$\exists x_1 F(x_1,x_2,c_1,c_2)$则不是语句，因为$x_2$是自由变元

理论，语句的一个集合，说明一个理论时还应指定其是针对于哪一个语言的（明确公理等）

一些符号

$\subset_n$

页数：76页(书57页)
定义1.27 设 $X$ 是一个非空集合, $k\in \omega$ $s\in (X)^{< \omega}$ $t\in (X)^{< \omega}$

\[s\subset_{k}t\leftrightarrow ((\operatorname {dom}(s)\cup \{k\} \subseteq \operatorname {dom}(t))\land (\forall i\in \operatorname {dom}(s)(i\neq k\to s(i) = t(i))).\]

$\vDash$

页数：77页(书58页)

定义

设 $A$ 是一个非空集合, $E\subseteq A\times A,\phi$ 是一个表达式.设 $\sigma \in (A)^{< \omega}$ 如下递归地定义 $((A,E),\sigma)\vDash \phi$

(1)如果 $\phi$ 是 $(v_{i}\in v_{j})$ 那么

\[(((A,E),\sigma)\vDash \phi)\leftrightarrow (\{i,j\} \subseteq \mathrm{dom}(\sigma)\wedge \langle \sigma (i),\sigma (j)\rangle \in E);\]

(2)如果 $\phi$ 是 $(v_{i} = v_{j})$ 那么

\[(((A,E),\sigma)\vDash \phi)\leftrightarrow (\{i,j\} \subseteq \mathrm{dom}(\sigma)\wedge (\sigma (i) = \sigma (j));\]

(3)如果 $\phi$ 是 $(\neg \psi)$ 那么

\[(((A,E),\sigma)\vDash \phi)\leftrightarrow (((A,E),\sigma)\not\in\psi);\]

(4)如果 $\phi$ 是 $(\psi \rightarrow \theta)$ 那么

\[(((A,E),\sigma)\vDash \phi)\leftrightarrow ((((A,E),\sigma)\not\in\psi)\lor (((A,E),\sigma)\vDash \theta));\]

(5)如果 $\phi$ 是 $(\psi \leftrightarrow \theta)$ 那么

\[(((A,E),\sigma)\vDash \phi)\leftrightarrow ((((A,E),\sigma)\vDash \psi)\leftrightarrow ((((A,E),\sigma)\vDash \theta));\]

(6)如果 $\phi$ 是 $(\psi \vee \theta)$ 那么

\[(((A,E),\sigma)\vDash \phi)\leftrightarrow ((((A,E),\sigma)\vDash \psi)\lor ((((A,E),\sigma)\vDash \theta));\]

(7)如果 $\phi$ 是 $(\psi \wedge \theta)$ 那么

\[(((A,E),\sigma)\vDash \phi)\leftrightarrow ((((A,E),\sigma)\vDash \psi)\wedge ((((A,E),\sigma)\vDash \theta));\]

(8)如果 $\phi$ 是 $(\exists v_{k}\psi)$ 那么

\[(((A,E),\sigma)\vDash \phi)\leftrightarrow (\exists \tau \in (A)^{< \omega}(\sigma \subset_{k}\tau \wedge (((A,E),\tau)\vDash \psi));\]

(9)如果 $\phi$ 是 $(\forall v_{k}\psi)$ 那么

\[(((A,E),\sigma)\vDash \phi)\leftrightarrow (\forall \tau \in (A)^{< \omega}(\sigma \subset_{k}\tau \to (((A,E),\tau)\vDash \psi)).\]

如果 $\phi$ 是一个语句,那么

\[((A,E)\vDash \phi)\leftrightarrow (((A,E),\emptyset)\vDash \phi).\]

称 $(A,E)$ 为集合的一个结构.当 $E = {(a,b)\in A\times A\mid a\in b}$ 时,我们直接写成 $(A,\in)$ 当 $A$ 是一个非空传递集合时, $T$ 是集合论语言的一个理论,并且对于 $T$ 中的每一个语句 $\theta$ 都有

\[(A,\in)\vDash \theta\]

则称 $(A,\in)$ 为理论 $T$ 的一个传递模型

理解

见习题

$\prec$

页数：92页(书73页)

称 $\mathfrak{B}$ 为 $\mathfrak{A}$ 的一个同质子模型, 记成 $\mathfrak{B} \prec \mathfrak{A}$ , 当且仅当

(a) $\mathfrak{B}$ 是 $\mathfrak{A}$ 的一个子结构, 并且
(b) 如果 $\phi (v_{1}, \dots , v_{n})$ 是语言 $\mathcal{L}$ 的一个彰显自由变元的表达式,

\[(a_{1}, \dots , a_{n}) \in B^{n},\]

那么

\[\mathfrak{B}\vDash \phi [a_{1},\dots ,a_{n}]\iff \mathfrak{A}\vDash \phi [a_{1},\dots ,a_{n}]\]

此外，$\prec_\varphi$也就是说仅仅在表达式$\varphi$上有$\mathfrak A,\mathfrak B$真实性相同（可参考108页(书89页)