我的集合论问题（第三卷）

定理1.28

129页(书109页)

原命题

设$\kappa$是一个强紧基数。如果$\lambda >\kappa$是一个奇异基数,并且$2^{\mathrm{cf}(\lambda)}< \lambda$那么$\lambda^{\mathrm{cf}(\lambda)} = \lambda^{+}$

证明设$\lambda >\kappa$是任意一个基数。根据引理1.53中的(3),我们有

\[\lambda^{< \kappa}\leqslant (\lambda^{+})^{< \kappa} = \lambda^{+}\]

所以对于所有的$\lambda >\kappa$都有$\lambda^{\aleph_{0}}\leqslant \lambda^{+}$。尤其是对于所有的梯度为$\omega$的极限基数$\lambda >\kappa$,都有$\lambda^{\aleph_{0}} = \lambda^{\mathrm{cf}(\lambda)} = \lambda^{+}$。根据银杰定理(第一卷定理2.38)(应用到$\kappa$上),我们得到所要的结论。

银杰定理在第一卷204页(书183页)，它说如果奇异基数假设对于所有梯度为$\omega$的基数都成立，那么对所有奇异基数，奇异基数假设都成立。

问题

我认为书中证明是不正确的，因为按照银杰定理的描述，这里只有$\lambda>\kappa\wedge\text{cf}(\lambda)=\aleph_0$的奇异基数才有奇异基数假设成立，很明显定理条件是不成立的。而且对于$\lambda<\kappa$，强紧基数是什么都没有限制的，所以对于更小的基数完全可以随意变化。