我做的集合论习题（第三卷）

引理1.35

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命题

如果$\gamma \geqslant \omega$是一个序数,$\alpha < \gamma$,$p \in [L_{\gamma +1}]^{< \omega}$,那么

\[\exists q \in [L_{\gamma}]^{< \omega}\left(\mathcal{S H}_{1}^{L_{\gamma +1}}(\alpha \cup p) \cap L_{\gamma} \subset \mathcal{S H}_{1}^{L_{\gamma}}(\alpha \cup q)\right)\]

书上的原命题左侧是$q$，右侧是$p$，我认为是写错了，原因主要是两个

1. 书上提出这个引理的上下文如果按书上的写法达不到期望的效果
2. 如果$p$在右侧，那上方限制用的$L_\gamma$是不够的，因为$\mathcal{SH}1$生成的集合不都在$L\gamma$中，使用$L_\gamma$上的有秩关系是不够的

证明

首先$\forall x\in \mathcal{S H}{1}^{L{\gamma +1}}(\alpha \cup p) \cap L_{\gamma}$，对于上方的限制$L_{\gamma+1}$，考虑到$x\in L_\gamma$，这个限制自动可以忽略，接下来很自然地，如果能对$p_i\in p$都用一个对应的$q_i\subset q$来计算，这个引理也就自然证明了。

接下来考虑$L$的定义，自然就会想用定义出$p_i$的表达式$\varphi_i$来计算$p_i$，但是问题在于$\varphi_i$没有限定构造层级，也就是没有限定$\varphi_i$是一个$\Sigma_1$语句，因而我们也无法把$\varphi_i$用到后面的证明中。

可是我又看了一下可定义集合$\mathfrak D$，好像我们的$\varphi_i$就是一个$\Sigma_1$语句，因为可定义集合有做限制$\varphi^M$，也就是我们不用去管它是什么了，反正可定义的集合本身就是$\Sigma_1$定义的，所以就不存在这个问题了。不过尽管这个看起来有一点奇怪，还会引起一些问题，但是想到$L$是$\Sigma_1$可定义的，这个理解也没有错误。

但是这的的确确会引起一些问题，最值得讨论的会是这个问题: 是不是能直接把$\mathfrak D$直接换成$\mathcal{SH}1$呢?这样套娃定义的还是$L$吗? 对此，我认为答案是“是”，比如都是从假设最初定义的$\alpha$层是$L\alpha$，用斯科伦闭包定义的是$L_\alpha’$，归纳假设$L_\alpha=L_\alpha’$，那么很显然，根据我们刚刚的讨论$L_{\alpha+1}\subset L_{\alpha+1}’$，可是我们也同样有$L_{\alpha+1}=\mathcal{SH}1(L\alpha)\subset\mathcal{SH}(L_\alpha)\subset L_{\alpha+1}$。因而$L=L’$，两个方法定义出来的确实是一样的。

虽然我这样写，但是我也觉得这个结论有一点奇怪，我也不清楚到底是不是真的，只能说有待考虑。