公理体系的模型为什么能存在

继续学习冯琦的集合论¹，在这第二卷，进入模型论的领域后，模型是越来越频繁地出现，讨论公理体系总是要归结于讨论模型，将各种各样的公理都内化到模型当中去讨论。尤其是后面到力迫法，到处都是$ZFC$的可数传递模型$M$。可是我一直没有能想明白，为什么一个可数模型能够装得下百变的集合论世界？那么多的集合，为什么都能在区区可数的模型里找到对应？

误区

首先，上述的疑问都来自于一个误区，正是这一个误区导致了许多的困惑。那就是：模型$M$并不包含全部的集合。 甚至，我们可以说，因为是可数模型，大部分的集合也都不包含在$M$当中。而这个误区形成的原因是，模型并不是根据包含的集合来划分的，而是根据其所满足的表达式，或者说命题来决定的。

下面我们的讨论默认$M$是传递的、可数的、至少是$ZF$的模型，这不影响理解

理解

回顾模型的含义，如果我们的公理体系是$N$，其模型我们可以这样理解²：

\[N\vDash\varphi(\vec x) \longleftrightarrow M\vDash(\varphi(\vec x))^M\]

你看，我们不是说要求$M$包含哪些哪些集合，而是说满足哪些哪些语句。而且这些语句还都限制在$M$之上，我们以序数作为例子，取$\alpha,\beta\in\text{Ord}$,比如$N$能证明$\alpha存在$，而在$M$中，也应该有真相：$\alpha存在$。可是你肯定会发现问题，序数那么多，如果每一个$\alpha存在$都有能说明，那$M$岂不是得爆炸，可数的集合数量真的够吗？别急，我们一个个来解决，但是首先我们需要知道一个基本的事实，那就是关于$M$中序数分布的情况的事实。

$M\cap\text{Ord}$

首先，如果$\alpha\in M\cap\text{Ord}$，考虑到$M$的传递性，$\forall\beta<\alpha\in M$。也就是说$M$中的序数都是连续分布的，那么$\gamma=M\cap\text{Ord}$也是一个序数，而且很明显的，$\gamma$不可能是后继序数，只能是极限序数，而且还得是一个$N$中的可数序数。

$\alpha存在$

首先我们来解决这个的问题，这个问题我们得转化到一个语句，那很明显就是

\[\varphi:\exists\beta\in\text{Ord}(\beta>\alpha)\]

可是我们刚刚才说了，$M$中的序数是有上界$\gamma$的，怎么做到这一点呢？其实大家只需要考虑一下$\varphi^M$，问题就迎刃而解了，$M$中也确实是没有最大的序数啊。这里神奇的点就出现在“限制在$M$上”，正是限制了讨论的范围，我们才能有这一点。而模型能代替原来的公理体系也正是因为这一点——我们的观察必须限制在$M$当中，这也就让我们不用再去考虑模型以外的什么乱七八糟的东西和限制了。

不知道你有没有注意到，我们最开始是说要证明任何的序数$\alpha$都存在，可是好像看起来我们并没有说明这一点啊。这是因为表达式$\varphi$暗藏玄机，我们没有直接说出全部的$\alpha$让模型满足，因为我们说不出来，我们没有那么多常元符号去表达每一个序数。联想到书上证明紧致性定理和基数紧致性等价里用斯科伦函数一个个去选然后添加选出来的这$\kappa$个常元符号，一下子就知道为什么了。

有任意大的基数

可是有的读者会说，那我给你符号嘛，比如基数，$\aleph$不是给了符号吗，那么多$\aleph$都得有呗。可是再一想，好像也不能把全部$\aleph$写出来，正是这种写不出来，表达能力有限允许模型的出现，因为你都写不出来凭什么要求我要全部包含。但是我们的模型$M$仍然可以说明有任意大的基数，这是没问题的。

为什么有$\omega_1$

这也令人费解，有限模型怎么会有$\omega_1$，最初你可能会想，那就是先令$\varphi:x=(\omega_1)^M$，然后$M$要说明这个命题不就好了。可是你仔细想，要有$(\omega_1)^M$不就是这个命题本身吗，这是循环论证的。而且，哪有$\omega_1$映射到$M$中的映射，那种映射肯定会对某些集合映射到重复的对象，这必然会导致问题。

实际上这里考虑$\omega_1$的定义——第一个不和$\omega$等势的序数。而$M$中也一定存在一个$\delta$不与$\omega$等势，原因是所有用来等势的双射不可能全在$M$之中，因为它们有$\omega_1$个！由此你也能想见，越往后的极限序数都会被判定为$M$中的基数，因为用来等势的函数是越来越少（尤其是$M$要保持传递）

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到这里，读者应该能发现，$M$中的许多看似的问题都是来自于外界的看法，但实际上$M$当中并没有那么多的关系、集合，从$M$内部看去，$M$仍然是健全的，它包含充分的、自成体系的相关集合，能够证明那么多的定理是没问题的。尽管从外界看来，$M$残缺不堪，但是$M$仍然是可能的公理体系。

1. 冯琦集合论（从Z-Library上下载的） ↩︎

2. 书中也没有明确的直接指出来的定义，只不过模型的意义确实很明显，一个类似的定义可以看辨析 ↩︎