集合论第三卷概念辨析

大基数

可测基数

称一个基数是一个可测基数当且仅当$\kappa$上存在一个满足下述要求的正规超滤子:

1. $\mathcal{U}$是一个非平凡的超滤子，即它是一个超滤子，并且$[\kappa ]^{< \kappa} \cap \mathcal{U} = \emptyset$

2. (完全性)$\mathcal{U}$是完全的，即如果$\gamma < \kappa$并且

   \[\langle A_{\alpha} \mid \alpha < \gamma \rangle \in \mathcal{U}^{\gamma}\]

   那么$\bigcap_{\alpha < \gamma} A_{\alpha} \in \mathcal{U}$

3. (正规性)$\mathcal{U}$是正规的，即如果$A \in \mathcal{U}$，$f$是$A$上的一个选择函数，那么$f$一定在$\mathcal{U}$中的某一个元素$B \subset A$上取常值

推论有

1. $\kappa$是不可达基数
2. $\forall A\in\mathcal U$，$A$是荟萃子集
3. \[\{\lambda<\kappa\mid\lambda是不可达基数\}\in\mathcal U\]
4. 对于一个正则基数$\kappa$，其上有$\kappa-$完全非平凡超滤$\mathcal U$等价于其是可测基数(也就是说可测基数定义第三条影响不大)

拉姆齐基数

$\omega < \kappa = |\kappa |$（实际上这一条不必要），表达式$\kappa \rightarrow (\kappa)_{2}^{< \omega}$等价于下述命题:

\[\forall f:[\kappa ]^{< \omega}\rightarrow 2,\exists H\in [\kappa ]^{\kappa}(\forall n\in \omega ,f[[H]^{n + 1}]] = 1)\]

称不可数基数$\kappa$为一个拉姆齐基数当且仅当$\kappa \rightarrow (\kappa)_2^{< \omega}$（和语言$\mathcal L_{\kappa,\kappa}$具有弱紧致性，关于表达式推理可以得到其必是弱紧基数）

55页引理1.15证明拉姆齐基数等价于$\forall\lambda<\kappa,\kappa\to(\kappa)_\lambda^{<\omega}$也成立

超紧基数

定义见120页(书100页)
首先定义

\[\mathfrak{P}_{\kappa}(\lambda) = \{X \subseteq \lambda \mid |X| < \kappa \}\]

定义1.15 设$\kappa$是一个不可数的正则基数。设$\lambda \geqslant \kappa$是一个基数。设$U \subset \mathfrak{P}(\mathfrak{P}_{\kappa}(\lambda))$是一个超滤子。

1. $U$是$\kappa-$完全的当且仅当对于任意的$\gamma < \kappa$,以及任意的$f: \gamma \to U$

\(\left(\bigcap_{\xi < \gamma} f(\xi)\right) \in U\)

1. $U$是$\mathfrak{P}_{\kappa}(\lambda)$上的一个精良测度当且仅当$U$是$\kappa-$完全的,并且

   \[\forall \gamma \in \lambda (\{y \in \mathfrak{P}_{\kappa}(\lambda) \mid \gamma \in y\} \in U)\]

2. $U$是$\mathfrak{P}{\kappa}(\lambda)$上的一个正规测度当且仅当$U$是$\mathfrak{P}{\kappa}(\lambda)$上的一个精良测度,并且具备如下正规特性:如果$A \in U,\ f: A \to \lambda$是一个选择函数,那么

   \[\exists \gamma < \lambda (\{x \in A \mid f(x) = \gamma \} \in U)\]

定义1.16

1. 称一个不可数的正则基数$\kappa$为一个强紧基数当且仅当对于任意一个基数$\lambda \geqslant \kappa$而言,理想$\mathfrak{P}_{\kappa}(\lambda)$上都存在一个精良测度。
2. 称一个不可数的正则基数$\kappa$为一个超紧基数当且仅当对于任意一个基数$\lambda \geqslant \kappa$而言,理想$\mathfrak{P}_{\kappa}(\lambda)$上都存在一个正规测度。
3. 称一个不可数的正则基数$\kappa$为一个$\lambda-$超紧基数当且仅当$\lambda \geqslant \kappa$是一个基数,并且理想$\mathfrak{P}_{\kappa}(\lambda)$上存在一个正规测度

   同质嵌入映射

   一个从集合论论域$\mathrm{V}$到它的一个传递内模型$M$的映射$j: \mathrm{V} \to M$是一个同质嵌入映射,记成$j: \mathrm{V} \prec M$,当且仅当

4. $\exists \kappa \in \operatorname {Ord}(\kappa < j(\kappa))$

5. 如果 $\phi (v_{1}, \dots , v_{n})$ 是集合论纯语言的一个彰显自由变元的表达式, $a_{1}, \dots , a_{n}$ 是论域中的集合, 那么

   \[\phi [a_{1}, \dots , a_{n}] \iff (M, \in) \models \phi [j(a_{1}), \dots , j(a_{n})]\]

对于一个同质嵌入映射$j: \mathrm{V} \prec M$而言,定义它的临界点(或者关键点)为满足不等式$\alpha < j(\alpha)$的最小序数,并将其记成$\operatorname {Crit}(j)$

引理1.6证明，对于非平凡的同质嵌入映射，临界点都是可测基数。但是尽管如此，$M$却不一定是这个可测基数诱导出来的超幂，它可能会比超幂大，因为超幂是最小的那个，超幂也能同质嵌入到$M$中去。此外，库能定理表明，如果选择公理成立，那$M\subsetneq V$，也就是$M$一定比$V$小。

无差别元

见无差别元

$EM-$蓝图

定义

57页(书37页)
语言$\mathcal{L}_{\in}^{*}$中的一个理论$T$被称为一幅$EM-$蓝图当且仅当$T$是语言$\mathcal{L}_{\in}^{*}$的某个典型结构的真相的全体之集，即$T$记录着在某个$\mathcal{L}_{\in}^{*}$的典型结构$(L_{\lambda},\in ,a_{k})_{k< \omega}$中为真的语句的全体

典型结构: 设\(\{c_{k}\mid k< \omega \}\)为一个新常元符号的集合。令$\mathcal{L}_{\in}^{*}$为对集合论纯语言添加这些新常元符号后所得到的语言。称所有满足下述要求的结构$(L_{\lambda},\in ,a_{k})_{k< \omega}$为语言$\mathcal{L}_{\in}^{*}$的一个典型结构

• $\lambda >\omega$为一个极限序数
• 对于每一个$k< \omega ,a_{k}$是常元符号$c_{k}$的解释，并且$a_{k}< a_{k + 1}$都是序数
• 集合\(I = \{a_{k}\mid k< \omega \}\)是结构$(L_{\lambda},\in)$的无差别元集合

基本模型存在性

引理1.17(可实现引理)设$T$是一幅$EM-$蓝图。令$T_{\in}$为$T$中那些不含任何新常元符号的语句之子集。

• 如果$\alpha >\omega$为一个极限序数，那么$T_{\in}$必然有(在同构意义下)唯一的具备下述特性的模型(称之为$T$的基本模型) $\mathcal{M} = \mathcal{M}(T,\alpha) = (M,E)$满足
  • $\mathcal{M}$携带一个在其$E$关系下的序型为$\alpha$的无差别元序数集合$X$

  • 对于集合论纯语言中任意的彰显自由变元的表达式 $\phi \left(v_{1},\dots ,v_{n}\right)$以及任意的在$E$下单调递增的$n$元组 \(\{a_{1},\dots ,a_{n}\} \subset X\)，总有

    \[\mathcal{M}\vDash \phi [a_{1},\dots ,a_{n}]\iff \phi (c_1,\dots ,c_n)\in T\]

其他

有秩关系条件

不过为了确保$\mathcal M$是一个模型，还需要下面的定理保证有秩关系

引理1.18(有秩条件)设$T$是一个$EM-$蓝图。那么如下命题等价

• 对于任意一个极限序数$\alpha >\omega$而言，基本模型$\mathcal{M}(T,\alpha)$上的关系$E$都是有秩关系
• 存在一个极限序数$\alpha \geqslant \omega_{1}$来见证基本模型$\mathcal{M}(T,\alpha)$上的关系$E$都是有秩关系
• 对于任意一个极限序数$\omega < \alpha < \omega_{1}$而言，基本模型$\mathcal{M}(T,\alpha)$上的关系$E$都是有秩关系

无界性条件

设$T$是一个$EM-$蓝图。那么如下命题等价

• 对于任意一个极限序数$\alpha > \omega$而言，基本模型$\mathcal{M}(T, \alpha) = (M, E)$所携带的无差别元序数集合在$(M, E)$的序数中是无界的
• 存在一个极限序数$\alpha > \omega$来见证基本模型$\mathcal{M}(T, \alpha) = (M, E)$所携带的无差别元序数集合在$(M, E)$的序数中是无界的
• 对于任意一个典型斯科伦项$t \left(v_{1}, \dots , v_{n}\right)$，$EM-$蓝图$T$中包括了如下语句:
  如果$t \left(c_{1}, \dots , c_{n}\right)$是一个序数，那么$t \left(c_{1}, \dots , c_{n}\right) < c_{n + 1}$

神奇性条件

设$T$是一个满足无界条件的$EM-$蓝图。那么如下命题等价

• 对于任意一个极限序数$\alpha >\omega$而言,基本模型$\mathcal{M}(T,\alpha) = (M,E)$具备神奇性
• 存在一个极限序数$\alpha >\omega$来见证基本模型$\mathcal{M}(T,\alpha) = (M,E)$具备神奇性

• 对于任意一个典型斯科伦项$t\left(v_{1},\dots ,v_{m},v_{m + 1},\dots ,v_{m + n}\right)$,$EM-$蓝图$T$中包括了如下语句:
  如果$t\left(c_{1},\dots ,c_{m + n}\right)< c_{m + 1}$是序数,那么

  \[t\left(c_{1},\dots ,c_{m + n}\right) = t\left(c_{1},\dots ,c_{m},c_{m + n + 1},\dots ,c_{m + 2n}\right)\]

  并且进一步地有,如果基本模型$\mathcal{M}(T,\alpha) = (M,E)$具备神奇性,$X$是它所携带的序型为$\alpha$的无差别元序数集合,$\omega < \gamma < \alpha$是一个极限序数,$a_{\gamma}$是$X$的第$\gamma$个元素,$Y\subset X$为$X$的前$\gamma$个元素,那么每一个$M$中的严格小于$a_{\gamma}$的序数$x$都在同质子模型$\mathcal{S H}^{(M,E)}(Y)$的论域之中

在满足神奇性的条件下这个$EM-$蓝图就叫做神奇$EM-$蓝图，而且其会有如下的闭性:
一幅神奇$EM-$蓝图$T$的基础模型$\mathcal{M}(T,\alpha)$所携带的序型为$\alpha$的无差别元序数集合$X$事实上是$\mathcal{M}(T,\alpha)$的一个无界闭子集。所说的”闭”在这里是什么含义呢?就是说,对于任意的极限序数$\omega \leqslant \gamma < \alpha$而言,$X$中的第$\gamma$个元素$a_{\gamma}$在线性有序集合$\left(\mathrm{Ord}^{(M,E)},E\right)$上是有界集合$Y = {a\in X\mid a E a_{\gamma}}$的最小上界。

关于满足神奇性的模型的存在性可以看64页(书44页)引理1.22，重要的是其推论定理1.15、定义1.10: — 如果存在一个拉姆齐基数$\kappa$，那么就一定存在唯一一个满足有秩关系的神奇$EM-$蓝图。

\(0^\#\)

68页(书48页)
如果存在一个满足有秩关系的神奇$EM-$蓝图，那么其一定是唯一的一个，定义其叫\(0^\#\)，同时也只存在唯一的一个银杰无差别元真类$I$,此外还有下述命题等价:

• 存在一个非平凡的同质嵌入映射$j: L \prec L$(见无差别元)
• 存在一个极限序数$\lambda$来见证模型$(L_{\lambda}, \in)$携带着一个不可数的无差别元序数集合
• \(0^{\#}\)存在
• 存在两个极限序数$\alpha < \beta$以及一个非平凡的同质嵌入映射$k: L_{\alpha} \prec L_{\beta}$来见证$\operatorname {Crit}(k) < |\alpha|$

\(0^\#\)存在还有如下等价命题

• 75页(书55页)引理1.21覆盖引理: $V$中存在一个不可数序数的集合$X$，在$L$中不存在$Y$使得$X\subset Y\wedge |X|^L=|Y|^L$(也就是说$V$和$L$差别很大)
  • 推论有等价于每一个$V$中奇异基数都在$L$中正则(否则必须全部奇异，不能部分奇异部分正则——证明考虑银杰无差别元)

并且能推出

• $V\neq L$(实际上拉姆齐基数的存在就保证这一点)
• $\forall\alpha>0,\aleph_\alpha^V$都是$L$中的一个不可达基数(利用它们都是银杰无差别元证明，具体见69页或书49页推论1.5)

我们还可以推广，对于任意的集合$A$，如果$A\in L[A]$(在构造$L$的时候允许使用$A$集合中的子集)，那么还可以定义\(A^\#\)，大体上和\(0^\#\)类似，只不过不再是$L$，而是$L[A]$。

此处还有一些其他要求，详见71页(书51页)。

银杰无差别元

如果存在有秩的神奇$EM-$蓝图，那么有如下命题成立

• 如果$\kappa < \lambda$是两个不可数基数,那么$(L_{\kappa}, \in) \prec (L_{\lambda}, \in)$
• 存在唯一的一个在整个序数轴中无界的闭子类$I$以至于所有的不可数基数都在$I$中,并且对于每一个不可数基数$\kappa$都有
  • $|I \cap \kappa | = \kappa$
  • $I \cap \kappa$是模型$(L_{\kappa}, \in)$的无差别元序数集合
  • 每一个$a \in L_{\kappa}$都是在模型$(L_{\kappa}, \in)$上以$I \cap \kappa$中的元素为参数可定义的

称$I$中元素为银杰无差别元。

值得注意的是，$V$中的不可数基数$\kappa$们(可以定义常元的那些)在$L$中一定不可能还是可定义符号的了，它们必须挪动位置，否则不可能是无差别元

符号

$\operatorname{ult}$(超幂)

定义

设$\kappa$是一个可测基数，$\mathcal{V}$为$\kappa$上的一个非平凡的$\kappa-$完全的超滤子。设$M$为一个非空传递集合。对于$f, g \in M^{\kappa}$，定义

\[f = ^{*}g\leftrightarrow \{\alpha < \kappa \mid f(\alpha) = g(\alpha)\} \in \mathcal{V},\]

以及（使用$\in$而不使用$<$是因为有时候函数映射到的并不是序数，这时是没有$<$关系的）

\[[f] \in^{*}[g] \leftrightarrow \{\alpha < \kappa \mid f(\alpha) \in g(\alpha)\} \in \mathcal{V}.\]

令$\operatorname {ult}(M, \mathcal{V}) = (M^{\kappa} / \mathcal{V}, \in^{*})$，并且称$\operatorname {ult}(M, \mathcal{V})$为$(M, \in)$在超滤子$\mathcal{V}$上的超幂，其有如下的性质：

若选择公理成立，设$M$为一非空传递集合，$\kappa$为一个无穷基数，$\mathcal{V}$是$\kappa$上的一个超滤子。那么对于集合论纯语言的任意一个彰显自由变元的表达式$\phi (v_{1}, \dots , v_{n})$以及$M^{\kappa}$中的任意一组函数$f_{1}, \dots , f_{n}$，都有

\[\operatorname {ult}(M, \mathcal{V}) \vDash \phi [[f_{1}], \dots , [f_{n}]] \iff \{\alpha < \kappa \mid (M, \in) \vDash \phi [f_{1}(\alpha), \dots , f_{n}(\alpha)] \} \in \mathcal{V}\]

还可以将传递集合$M$上的定义拓展到全体集合论域中去$V$,只不过令$[f]$不同(可证明其一定是集合，但是很明显$f$不一定属于$[f]$)

\[[f] = \left\{g\mid\left(\begin{array}{c}g是一个函数\wedge\operatorname{dom}(g)=\kappa\wedge g=^*f\wedge\\\forall h(\operatorname{dom}(h)=\kappa\wedge h=^*f)\to\operatorname{RK}(g)\leqslant\operatorname{RK}(f)\end{array}\right)\right\}\]

以及

\[V^\kappa/\mathcal V=\{[f]\mid f是一个函数，且\operatorname{dom}(f)=\kappa\}\]

再定义

\[[f]\in^{*}[g]\leftrightarrow \{\alpha < \kappa \mid f(\alpha)\in g(\alpha)\} \in \mathcal{V}.\]

令$\operatorname {ult}(\mathrm{V},\mathcal{V}) = (V^{\kappa} / \mathcal{V},\in^{*})$,并且称$\operatorname{ult}(\mathrm{V},\mathcal{V})$为$(\mathrm{V},\in)$在超滤子$\mathcal{V}$上的超幂。同样的,存在一个传递类$M$与$\operatorname{ult}(\mathrm{V},\mathcal{V})$同构,要注意的是，如果等价类不是集合,$M$就不一定是真类了,其包含的还是类,这种对象不是集合论处理的合法的对象了。

扩展定义

见47页(书27页)

对于模型$M$，如果有一个$M$上某个无穷基数$\kappa$上的超滤子$D$（注意，$D$不一定属于$M$，但是$\forall x\in D(x\in (\mathfrak P(\kappa))^M)$），利用同样的方法可以定义$M$上的超幂$\operatorname{ult}(M,D)$，各种性质也类似成立，只要满足：$\in^*$是无歧义的，也就是有秩的，没有无穷降链。

一般来说，只要$D\notin M$是会出现无穷降链的，因为$D$的完全性等性质管不到不属于$M$的集合，所以你能找得到一组$X_i\in D\wedge X_i\notin M$，此时，$D$任何$M$里判断的性质都不起作用了，很容易凑出无穷降链。不过，好在满足下面两条之一就肯定不会出现这个问题

1. $D\in M$
2. 如果$D$是一个同质嵌入映射 $j: M\prec N$诱导出来的(注意，$j$不一定属于$M$，只需要在最外层存在就可以了)，也就是$D={X\subset\kappa\mid X\in M\wedge\kappa\in j(X)}$

性质

首先，记$N\cong\operatorname{ult}(V,\mathcal V)$，同构映射是$\pi$，\(\forall x\in V(c_x=\{\alpha<\kappa\mid(\alpha,x)\})\)，$\forall x\in V( j(x)=\pi([c_x]) )$，$\forall\alpha<\kappa,\operatorname{Id}(\alpha)=\alpha$，那么

• $\forall\alpha<\kappa,j(\alpha)=\alpha$且$j(\kappa)>\kappa$,且若$\mathcal V$是正规的,则$\kappa=j(\operatorname{Id})$
  正是上述原因，一般如果遇到$j(F)(\kappa)$($F$是一个$\kappa$上的函数)，我们总可以考虑构造函数$g_F$依次完成这些工作：

  \[\alpha\to c_\alpha\to g_F(c_\alpha)=F(\alpha)\]

  同时把$\kappa$的定义补上并且把全部打包叫函数$g$，我们就可以得到$j(F)=[g]$，从而轻松证明$j(F)(\kappa)$相关的结论（注：前面的说法不完全正确，其实还是要用超幂基本定理的）

• $2^\kappa\leq(2^\kappa)^N\leq j(\kappa)\leq(2^\kappa)^+$

• 超幂基本定理: 若$\varphi$是一个彰显自由变元的表达式，$[f_1],[f_2],\cdots\in\operatorname{ult}(V,\mathcal V)$，那么

  \[\operatorname{ult}(V,\mathcal V)\vDash\varphi[[f_1],[f_2],\cdots,[f_n]]\Longleftrightarrow\{\alpha<\kappa\mid V\vDash\varphi[f_1(\alpha),f_2(\alpha),\cdots,f_n(\alpha)]\}\in\mathcal V\]

迭代超幂

页数: 89页(书69页)
第$\alpha$次迭代记为$\operatorname{ult}^{(\alpha)}$

起始步:
$M_{0} \subseteq \mathbb{V}$为$ZFC$的传递模型。$\kappa_{0} \in M_{0}$是$M_{0}$的可测基数。$U_{0} \in M_{0}$是$M_{0}$中的在$\kappa_{0}$上的$\kappa_{0}-$完全的非平凡的超滤子

后继步:
给定$M_{\alpha}$为ZFC的传递模型。$\kappa_{\alpha}\in M_{\alpha}$是$M_{\alpha}$的可测基数,$U_{\alpha}\in M_{\alpha}$是$M_{\alpha}$中的在$\kappa_{\alpha}$上的$\kappa_{\alpha}-$完全的非平凡的超滤子。
在$M_{\alpha}$中定义它的经$U_{\alpha}$确定的超幂$\operatorname{ult}(M_{\alpha},U_{\alpha})$,并且令$M_{\alpha +1}$为这个超幂的传递化,以及令$j_{\alpha ,\alpha +1}:M_{\alpha}\prec M_{\alpha +1}$为从$M_{\alpha}$到$M_{\alpha +1}$的典型嵌入映射,并且对于每一个$\beta < \alpha$,令$j_{\beta ,\alpha +1} = j_{\alpha ,\alpha +1}\circ$ $j_{\beta ,\alpha}$,再令$\kappa_{\alpha +1} = j_{\alpha ,\alpha +1}(\kappa_{\alpha})$,以及$U_{\alpha +1} = j_{\alpha ,\alpha +1}(U_{\alpha})$
此时对于$\beta \leqslant \alpha$都有$\kappa_{\beta}< \kappa_{\alpha +1} = j_{\beta ,\alpha +1}(\kappa_{\beta})$,并且$\kappa_{\beta}$是映射$j_{\beta ,\alpha +1}$的临界点

极限步:
假设$\alpha$是一个极限序数,并且已经得到一个定向系统

\[\langle M_{\beta}, j_{\beta ,\gamma} \mid \beta < \gamma < \alpha \rangle\]

即

1. $\forall \beta < \gamma < \alpha (j_{\beta ,\gamma}:M_{\beta} \prec M_{\gamma})$
2. $\forall \beta < \gamma < \eta < \alpha (j_{\beta ,\eta} = j_{\gamma ,\eta} \circ j_{\beta ,\gamma})$

那么,令

\[A = \{(\beta ,x) \mid \beta < \alpha \land x \in M_{\beta}\}\]

对于$(\beta ,x) \in A$以及$(\gamma ,y) \in A$,定义

\[(\beta ,x) = (\gamma ,y) \leftrightarrow \exists \eta < \alpha (\beta < \eta \land \gamma < \eta \land j_{\beta ,\eta}(x) = j_{\gamma ,\eta}(y))\]

这是$A$上的一个等价关系。令$N_{\alpha} = A / \equiv$,对于$[(\beta ,x)] \in N_{\alpha}$和$[(\gamma ,y)] \in N_{\alpha}$,令

\[[(\beta ,x)] \in^{*}[(\gamma ,y)] \leftrightarrow \exists \eta < \alpha (\beta < \eta \land \gamma < \eta \land j_{\beta ,\eta}(x) \in j_{\gamma ,\eta}(y))\]

这是一个毫无歧义的定义,也就是说,与代表元的选取无关。然后对于$\beta < \alpha$,对于$x \in M_{\beta}$,用下述等式

\[J_{\beta}(x) = [(\beta ,x)]\]

来定义

\[J_{\beta}:M_{\beta} \rightarrow N_{\alpha}\]

那么,对于每一个$\beta < \alpha$,我们就有$J_{\beta}:M_{\beta} \prec N_{\alpha}$,并且对于$\beta < \gamma < \alpha$,一定有交换图:

\[J_{\beta} = J_{\gamma} \circ j_{\beta ,\gamma}\]

如果$\in^{*}$在$N_{\alpha}$上是有秩的,那么就令$M_{\alpha}$为$N_{\alpha}$的传递化,令$\pi_{\alpha}$为传递化映射,以及令

\[j_{\beta ,\alpha} = \pi_{\alpha} \circ J_{\beta}\]

此时,我们就得到定向系统$\langle M_{\beta}, j_{\beta ,\gamma} \mid \beta < \gamma < \alpha \rangle$的定向极限$\langle M_{\alpha}, j_{\beta ,\alpha} \mid \beta < \alpha \rangle$,然后再令

\[\kappa_\alpha=j_{0,\alpha}(\kappa_0),\,U_\alpha=j_{0,\alpha}(U_0)\]

这就完成了极限步$\alpha$处的迭代超幂极限$\langle M_{\alpha}, \kappa_{\alpha}, U_{\alpha}, j_{\beta ,\alpha} \mid \beta < \alpha \rangle$的定义,此时我们有:

1. $\forall \beta < \alpha (\kappa_{\alpha} = j_{\beta ,\alpha}(\kappa_{\beta}) > \kappa_{\beta})$
2. $\forall \beta < \alpha (\kappa_{\beta} = \mathrm{Crit}(j_{\beta ,\alpha}))$
3. \[\kappa_{\alpha} = \sup (\{\kappa_{\beta} \mid \beta < \alpha \})\]

实际上，书中证明了，在每一极限$\alpha$步，$\in^*$都是有秩的，所以迭代超幂可以无穷定义下去

乘积超幂

页数:94页(书74页)

首先以记号$\forall^*\alpha\,\varphi(\alpha)$表示几乎所有$\alpha$，也就是${\alpha<\kappa\mid\varphi(\alpha)}\in U$($U$是一个非平凡$\kappa-$完全超滤子)

设$1< n< \omega$,对于$X\subseteq \kappa^{n}$以及$\alpha < \kappa$,令

\[X_{(\alpha)} = \{\langle \alpha_{1},\dots ,\alpha_{n - 1}\rangle \mid \langle \alpha ,\alpha_{1},\dots ,\alpha_{n - 1}\rangle \in X\}\]

对于$1\leqslant n< \omega$,递归地定义$\kappa^{n}$上的超滤子$\mathcal{V}_{n}$如下:

\[\begin{array}{c} \mathcal{V}_{1}=U,\\ \mathcal{V}_{n+1}=\left\{X\subseteq\kappa^{n+1}\mid\forall^{*}\alpha\left(X_{(\alpha)}\in\mathcal{V}_{n}\right)\right\} \end{array}\]

书中证明了

\[X\in\mathcal V_n\Longleftrightarrow \forall^*\alpha_1\cdots\forall^*\alpha_n\,\langle\alpha_1,\cdots,\alpha_n\rangle\in X\]

应用$\mathcal{V}_{n}$定义$V$的超幂: 对于$f, g: \kappa^{n} \to V$,令

\[f = _{n}g\leftrightarrow \{a\in \kappa^{n}\mid f(a) = g(a)\} \in \mathcal{V}_{n}\]

以及用与定义$[h] \in \mathrm{ult}(V, U)$同样的方式定义$[f]$,然后再定义

\[[f] \epsilon_{n}[g] \leftrightarrow \{a \in \kappa^{n} \mid f(a) \in g(a)\} \in \mathcal{V}_{n}\]

这样,我们就定义了经$\mathcal{V}{n}$所确定的超幂$\mathrm{ult}(V, \mathcal{V}{n})$。设$1 \leqslant n < m < \omega$,其有如下性质

1. 对于$X \subseteq \kappa^{n}$,定义

\[\mathrm{Bh}_{n,m}(X) = \{t \in \kappa^{m} \mid t \upharpoonright_n \in X\}\]

1. 对于定义在$\kappa^{n}$上的函数$f$,令$f \uparrow_{n}^{m}$为$f$到$\kappa^{m}$的自然提升

   \[\forall t \in \kappa^{m} \left(f \uparrow_{n}^{m} (t) = f \left(t \uparrow_{n}\right)\right)\]

   并且令$i_{n,m}: \mathrm{ult}(V, \mathcal{V}{n}) \to \mathrm{ult}(V, \mathcal{V}{m})$为依据下述等式所确定的映射

   \[i_{n,m} \left([f]_{\mathcal{V}_{n}}\right) = [f \uparrow_{n}^{m}]_{\mathcal{V}_{m}}\]
2. 对于$X \subseteq \kappa^{n}$,$X \in \mathcal{V}{n} \iff \mathrm{Bh}{n,m}(X) \in \mathcal{V}_{m}$

3. $i_{n,m}:\mathrm{ult}\left(\mathrm{V},\mathcal{V}{n}\right)\prec \mathrm{ult}\left(\mathrm{V},\mathcal{V}{m}\right)$。并且有交换图: $i_{\gamma_m}= i_{n,m}\circ i_{\gamma_{n}}$。其中,$i_{\gamma_k}:\mathrm{V}\prec \mathrm{ult}\left(\mathrm{V},\mathcal{V}{k}\right)$是自然嵌入映射,对于$x\in \mathrm{V},c{x}$是定义在$\kappa^k$的取常值$x$的函数

   \[i_{\gamma_k}(x) = [c_{x}]_{\gamma_k}\]

而对于序数$\alpha\geqslant\omega$，我们定义较为不同(最为详细可见103页)，首先我们对有限子集$E\subset\kappa$，定义$\mathcal V_E$直接通过$E$和$|E|$的双射同构到$\mathcal V_{|E|}$。而对于普通$E\subset S\subseteq\kappa$，$\forall X\subseteq\kappa^E$定义自然映射

\[\operatorname{Bh}_{E,S}(X)=\,\{t\in\kappa^S\mid t\upharpoonright_E\,\in X\}\]

以及(可证明$\mathbb B_\alpha$是一个布尔代数)

\[\mathbb B_\alpha=\{Z\subseteq\kappa^\alpha\mid\exists E\,\exists X\subseteq\kappa^E(Z=\operatorname{Bh}_{E,\alpha}(X))\}\]

把每个满足$Z\in\mathbb B_\alpha$对应的$E$叫做$Z$的优先支撑，此外，这里$E$和$X$的选择不重要，类似于前面$n$部分的性质三(具体可见102页引理1.42)
同时还称一个以$\kappa^{\alpha}$为定义域的函数$f$具有一个有限支撑$E\subset \alpha$当且仅当$E$是非空有限的,并且对于任意的$t,s\in \kappa^{\alpha}$,若$s\upharpoonright_E=t\upharpoonright_E$,则$f(s) = f(t)$。换句话说,当且仅当$E$是非空有限的,并且存在一个以$\kappa^{E}$为定义域的函数$g$来计算$f$

\[\forall t\in \kappa^{\alpha}\left(f(t) = g\left(t\upharpoonright_E\right)\right)\]

然后定义$\mathcal V_\alpha$: $\forall Z\in\mathbb B_\alpha$

\[Z\in\mathcal V_\alpha\Longleftrightarrow X\in\mathcal V_E\]

104页引理1.43证明这个定义出来的是一个超滤子

• 对于每一个序数$\alpha \geqslant 1,\mathcal{V}{\alpha}$是布尔代数$\mathbb{B}{\alpha}$上的一个非平凡的$\kappa-$完全的超滤子

两超幂联系

105页(书85页)引理1.44(选代超幂表示引理)

设$\kappa$是一个可测基数,$U$是$\kappa$上的非平凡的完全的超滤子,对于任意无穷序数$\alpha$,经$\mathcal{V}{\alpha}$所确定的超幂$\operatorname{ult}(\mathrm{V},\mathcal{V}{\alpha})$与第$\alpha$次选代超幂$\operatorname{ult}^{(\alpha)}(\mathrm{V},U)$同构,并且,典型嵌入映射

\[j\gamma_{\alpha}:\mathrm{V}\rightarrow N_{\alpha}\cong \mathrm{ult}\left(\mathrm{V},\mathcal{V}_{\alpha}\right)\]

与选代嵌入映射

\[j_{0,\alpha}:\mathrm{V}\rightarrow M_{\alpha}\cong \mathrm{ult}^{(\alpha)}(\mathrm{V},U)\]

满足自然交换图:令

\[\pi_{\alpha}:\mathrm{ult}^{(\alpha)}(\mathrm{V},U)\cong M_{\alpha}以及\eta_{\alpha}:\mathrm{ult}(\mathrm{V},\mathcal{V}_{\alpha})\cong N_{\alpha}\]

为各自的传递化映射。令

\[e_{\alpha}:\mathrm{ult}\left(\mathrm{V},\mathcal{V}_{\alpha}\right)\cong \mathrm{ult}^{(\alpha)}(\mathrm{V},U)\]

为同构映射,那么

\[j_{0,\alpha} = \pi_{\alpha}\circ e_{\alpha}\circ \eta_{\alpha}^{-1}\circ j\gamma_{\alpha}\]

并且对于$\alpha < \beta$

\[\renewcommand\arraystretch{1.3} \begin{array}{c c c} M_{\alpha} & \xrightarrow{j_{\alpha,\beta}} & M_{\beta} \\ \uparrow\pi_{\alpha} & & \uparrow\pi_{\beta} \\ \operatorname{ult}^{(\alpha)}(V,U) & & \operatorname{ult}^{(\beta)}(V,U) \\ \uparrow e_{\alpha} & & \uparrow e_{\beta} \\ \operatorname{ult}(V,\mathcal{V}_{\alpha}) & \xrightarrow{i_{\alpha,\beta}} & \operatorname{ult}(V,\mathcal{V}_{\beta}) \end{array}\]

此外它们还有两个共同性质(108页,书88页,引理1.45)

1. 如果$\alpha$是一个基数,并且$\alpha >2^{\kappa}$,那么$j_{0,\alpha}(\kappa) = \alpha$

2. 如果$\lambda >\alpha$是一个基数,$\operatorname {cf}(\lambda) > \kappa ,$并且$\forall \gamma < \lambda$ $(

   \gamma

   ^{\kappa}< \lambda)$,那么$j_{0,\alpha}(\lambda) = \lambda$