集合论笔记（第三卷）

第一卷，第二卷

引理1.10

参考概念辨析，如果$V=L$（当然，此时这个同质嵌入映射$j\notin L$），那么特殊地，我们能得到47页(书27页)引理1.10

设$j:L\prec L$非平凡，$\kappa = \operatorname {Crit}(j)$，$D = {X\subseteq \kappa \mid X\in L\land \kappa \in j(X)}$那么$L-$超幂$\operatorname {ult}(L,D)$有唯一的传递化$L$，并且存在唯一的自然的同质嵌入映射$i:L\prec L\cong \operatorname {ult}(L,D)$以及$k:L\prec L$满足交换图$j = k\circ i$

“不可区分”元

54页(书34页)中定理1.13(库能定理)描述了这样一件事：
如果存在从$L$到$L$的一个非平凡的同质映射$j:L\prec L$,那么一定存在一个具备如下性质的极限序数$\lambda: \exists I\in [\lambda ]^{\omega_{1}}$以至于在模型$(L_{\lambda},\in)$中如下命题成立:如果$\varphi \left(v_{1},\dots ,v_{n}\right)$是集合论纯语言的一个彰显自由变元的表达式,\(\{\alpha_{1}< \alpha_{2}< \dots < \alpha_{n}\} \subset I\)以及 \(\{\beta_{1}< \beta_{2}< \dots < \beta_{n}\} \subset I\),那么

\[(L_{\lambda},\in)\vDash (\varphi [\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{n}]\leftrightarrow \varphi [\beta_{1},\beta_{2},\dots ,\beta_{n}])\]

这也就是说，如果存在一个可测基数这样的大基数，对于任何在$I$当中的序数，只使用这些序数的话是不可能区分出它们中的任何一个的(不过这并不代表添加其他东西也不能区分)。而且最要命的是，$I$一定是会存在的，这将阻止我们区分某一些序数。

可是，为什么这些序数无法被区分呢？换句话说，我们怎么构造出来它们的？这一点主要基于这么一个事实：首先，它们都是$j$的不动点，所以在映射前后它们都不变。这时考虑到同质嵌入映射保表达式，也就是说对于元素间的关系是保持的，原本的$x,y$有某些关系，映射后$j(x),j(y)$也保持这一种关系。本来这不影响，可是对于$L$，这种映射结果还是自己，也就是映射变成了一种“自同构”，所以，不动点之间的关系也会得到保持，在映射前后都保持不变，可以认为这是“不动关系”，这些关系也不随着映射迁移。可是接下来问题出现了，我们找到了一个映射——$h_{\alpha,\beta}$，它可以单独移动某一个不动点到另一个不动点上，同时还保持其他不动点不改变。由于是同质嵌入映射，这两个不动点上的关系也会一起被移动，但是又由于这些关系是“不动关系”，最后得到的这个看起来的“新”关系实际上在原来就已经在了。如果我们拓展这个流程，就可以把本来两个不动点之间的关系移动到全部不动点上。这下就相当于这个关系是不动点间的普遍关系，你不可能用这个关系去区分哪两个不动点了。当全部不动点之间的关系都到处铺满的时候，你就不可能再通过这些不动点之间的关系来区分它们了。

我也分析了一下书中的证明思路,大概是这样的

1. 寻找移动的映射$h_{\alpha,\beta}$，不过单独挪一个$\alpha_i$到$\beta_i$是极其困难的，甚至可以说不可能，考虑多方因素会选择书中的同时映射到$\delta_i$折中。又考虑到往大了映射选择会多一些，更好一些，所以优先考虑$\delta_i>\alpha_i,\beta_i$(这时我们还并没有处理$\kappa_\alpha$,在我们的思维中,它们应该就是一些不动点罢了.或者,为了它们不同,我们可能也就是从$U_0$里一个个取的$\kappa_\alpha$)
2. 构建同质嵌入映射手段极少，从$j$构建是不可能的，连$L_\lambda\prec L_\lambda$都保证不了。除此之外就只有显式构造比较靠谱，而手搓基本上不可能，除此之外就只有传递化映射可用了，所以用的传递化映射。
3. 为了传递化映射不改变各个不动点，只能考虑不动点的势，所以有了$U_\alpha$们真实的定义,而不只是第一步的时候我们猜测的直接一个个取就完了。
4. 在证明$h_{\alpha,\beta}(\kappa_\alpha)=\kappa_\beta$的时候我们又遇到一个问题，也就是反证法证明不等式不成立的地方，很明显我们需要一个新的同质嵌入映射(或者是传递化映射)，和前面一样的，$j$也不能用，因为那没有什么改变，这里我们会很自然地定义$h_\alpha$，不多说。不过在定义了$h_\alpha$之后，我们会发现我们需要更改我们目前选择$\kappa_\alpha$的方式，也就是变成最终的方式。

这可以让我们定义所谓无差别元(54页,书34页):
设$\mathcal{L}$为一个包括谓词符号${P,\dots }$、函数符号${F,\dots ,}$和常元符号${c,\dots }$的一阶语言(并不要求语言可数，也就是这些符号可以不止$\omega$个)。设

\[\mathfrak{A} = \left(A,P^{\mathfrak{A}},\dots ,F^{\mathfrak{A}},\dots ,c^{\mathfrak{A}},\dots\right)\]

为一个$\mathcal{L}-$结构。设$\lambda$是一个无穷基数，并且$\lambda \subset A$称一个集合$I\subset \lambda$是模型的一个无差别元集合当且仅当对于每一个自然数$n< \omega$，对于语言$\mathcal{L}$的任何一个彰显自由变元的表达式$\phi \left(v_{1},\dots ,v_{n}\right)$都有如下结论:对于任意来自集合$I$中的两组长度为$n$的单调递增序列${\alpha_{1}< \alpha_{2}< \dots < \alpha_{n}} \subset I$以及${\beta_{1}< \beta_{2}< \dots < \beta_{n}} \subset I,$总有下述对等关系:

\[(\mathfrak{A}\vDash \phi [\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{n}])\iff (\mathfrak{A}\vDash \phi [\beta_{1},\beta_{2},\dots ,\beta_{n}]).\]

等价地,

\[\mathfrak{A}\vDash (\phi [\alpha_{1},\alpha_{2},\dots ,\alpha_{n}]\leftrightarrow \phi [\beta_{1},\beta_{2},\dots ,\beta_{n}]).\]

不过虽然叫不可区分元，但是如果借助外力仍然可以区分，比如借助一个新的元素$x$来区分，不过要注意，下面这种方式是不可以的:
对于任意的$\varphi(x,\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$定义

\[\varphi_x(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\Longleftrightarrow\varphi(x,\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\]

然后利用不可区分性证明其实$\varphi$里的$\alpha$都可以换成$\beta$

这个“证明”不可行处在于$x$不是常元符号，你没有办法定义出$\varphi_x$来，也就是说不可区分还是来自于不动点间的性质，对于会动的点来说，不可区分都是假的。

$EM-$蓝图理解

概念见概念辨析
最开始我完全不理解几个引理中的$c_i$是什么意思，我最开始想，如果$c_i$是固定的，那么也就是单独描述了一个语句在蓝图$T$中，这很明显地约束不足，可是如果认为书中的脚标只是一个符号可以随意更改，好像又有诸多的问题。再加上我对不可区分元的理解不足，看到神奇性引理的时候觉得第三条是显而易见，浪费了诸多的时间，在这里予以逐一记录。

对于不可区分元的理解

首先引起最大问题的是对不可区分元的理解，让我误以为对斯科伦函数$t$也能随意更换变量，可是实际上并不是。我们看不可区分元的定义，其需要的是一个表达式$\varphi$，输出是真/假。而斯科伦函数输出的则是一个集合，两者除了长得像，其余没有什么共同之处。

再看回书中，比如无界性条件最后第三条说

如果$t \left(c_{1}, \dots , c_{n}\right)$是一个序数，那么$t \left(c_{1}, \dots , c_{n}\right) < c_{n + 1}$

如果直接随意更换$t \left(c_{1}, \dots , c_{n}\right)$中的$c_i$是不可以的，因为$t$不是表达式。但是如果把整一句话作为语句$\varphi$则是可以的，这时就可以按照要求对它们进行移动，从而能借助$a_i$的不可区分性将性质到处推广。

对于$c_i$的理解

起初我觉得$c_i$一定是能换的(因为我对不可区分元的理解不正确导致的)，否则原来的引理的条件太单一了，后来解决了前面的问题之后我发现，既然最开始定义蓝图$T$时就引入了常元符号$c_i$，那么这应该是一个整体，怎么能随意更换呢。同样的，作为一个常元符号，在蓝图$T$翻译为模型$M(\alpha,E)$后也应该解释为固定的一个$a_i$，不过问题却是对于剩下的$\alpha-\omega$个$a$它们将没有常元符号代替(尽管书上证明存在性引理的时候其实分配了新常元符号，但是在真相$T$中没有，所以不影响)，它们的性质怎么办？实际上这也就是通过$a$的不可区分性质来的，通过已经有解释的前$\omega$个$a$，通过移动它们来得到关于其他的$a$的性质。

不过我当时也出现了一些错误的理解，我以为如果给$c_i$固定解释会导致出现不同的$M(\alpha,E),M(\beta,E)$变成一样的，这一方面基于对斯科伦函数的随意更换，另一方面来自于没有认识到在这两个模型中其实$a_i$们也不完全一样，它们更有可能是完全不同的序数，而非我当时认为的前$\omega$个是完全一样的序数。

虽然这个解释很合理，可是在神奇性引理处会遇到问题，因为证明中$y_1$占据了本来属于$c_{m+1}$的位置，难道$c_{m+1}$并不解释为$x_{m+1}$吗？并不是这样的，实际上书中只是借助$x_\omega=y_1$来证明结论，因为需要利用$y_1$的特殊性质，尽管书中没说，最后证明完成时你只需要利用不可区分元的性质把$y,z$换成你希望的$x_{m+1},\cdots,x_{m+2n}$就好了，这并不会引起什么问题。

可测基数内模型

如果$\kappa$是可测基数，$U$是$\kappa$上的非平凡$\kappa-$完全的正规超滤子，那么带参数$U$可定义集合论域$L[U]$中有如下事实

• 广义连续统假设仍然成立(110页，书90页定理1.23)
• $\kappa$是唯一的可测基数(111页，引理1.48)
• $U$是$\kappa$上唯一的非平凡正规超滤子(112页,定理1.24)(如果$U$不正规，$\kappa$也会是可测基数，只不过不保证唯一)
• 如果$\kappa_1<\kappa_2$都是可测基数，其超滤子分别是$U_1,U_2$，那么$\exists\alpha\in\text{Ord}$使得$L[U_2]$是$L[U_1]$的$\alpha$次迭代超幂

• 令$j_{0,1}: L[D] \prec N_{1} \cong \operatorname {ult}(L[D], D)$为超幂嵌入映射。设$\gamma$为一个满足不等式$\kappa < \gamma < j_{0,1}(\kappa)$的序数。那么一定不存在具备下述性质的$U \subseteq \mathfrak{P}(\gamma)$

  \[L[U]\vDash U是\gamma上的非平凡正规超滤子\]