集合论第二卷概念辨析
将逻辑语言内在为集合论语言过程中出现的概念、定义整理
项、表达式、语句
项，即是表达式的基本组成单元，由常元、变元、函数符号、逻辑谓词、$=$拼接而成，比如$t_1=t_2,F(x_1,x_2,c_1,c_2)$等（$t_i,x_i$为变元，$c_i$为常元，$F$为函数符号）
表达式，即由项和逻辑连接符$\wedge,\vee,\neg,\rightarrow,\leftrightarrow$连接而成，比如$\forall t_1\forall t_2 t_1=t_2,\exists x_1 F(x_1,x_2,c_1,c_2)$等
语句，一种特殊的表达式，其中不含有自由变元，比如上面的$\forall t_1\forall t_2 t_1=t_2$就是语句，而$\exists x_1 F(x_1,x_2,c_1,c_2)$则不是语句，因为$x_2$是自由变元
理论，语句的一个集合，说明一个理论时还应指定其是针对于哪一个语言的（明确公理等）
谓词
在集合论中，我们自然会需要将谓词转换为集合论语言，也就是集合或者真类，不过这两者的转换关系如何呢？一般而言，我们定义对于集合或者真类$A$，其对应的谓词$P_A$是如下定义的
\[P_A(x)\Longleftrightarrow x\in A\]模型
定义见辨析
尽管书上并没有明确直接指出来的定义，但是其含义的理解可以见模型的理解
引理1.12
页数：78页（书59页）
如果$M$是传递集合，$\sigma\in(M)^{<\omega}$,$\phi$是一个表达式,那么三元关系
是一个(在$\mathrm{KP}$基础上)$\Delta-$可引入的关系
引理1.13
设$M$是一个非空传递集合，${a_1,\dots,a_n}\in[M]^n$
\[\phi (x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})\]是一个彰显全部自由变元的解析表达式,那么,对于任意的 $a\in M$ 令
\[\sigma (0) = a,\sigma (1) = a_{1},\dots ,\sigma (n) = a_{n},\]都有
\[\phi^{M}[a,a_{1},\dots ,a_{n}]\leftrightarrow (M,\sigma)\vDash \phi\]意义
通过模型，我们可以将在外部对于集合和公理体系的探讨转换到内部的，对于集合的关系间的探讨，这将我们的高度压低，能够从俯视的角度审视公理体系。
力迫法
所有书中关于力迫法的内容中，模型$M$都默认是$ZFC$的可数模型，因为模型不同会导致很多性质变动
力迫构思
如果偏序集$\mathbb P=(P,<)$满足
- $\mathbb{P}$是一个可分偏序（也就是说内部处处都有分歧，一直都有相互矛盾的语句）
- $P$中有一个$\leq$最大元$\mathbf{1}\in P$即$\forall p\in P(p\leq 1)$
则称$\mathbb P=(P,<)$为力迫构思
$P$上的偏序$<$是一个可分偏序当且仅当 \(\forall p\in P\forall q\in P[(p\not\leq q)\to \exists s\leq p(\neg (\exists r\in P(r< s\land r< q)))]\)
这里面$\mathbf 1$代表力迫法起始的模型，因为其是最弱的条件
力迫条件
对于$\mathbb P$中的元素，每一个都叫一个力迫条件，而如果对于$p,q$有$p<q$，那么我们说条件$p$比条件$q$更强。越小越强则是为了和集合的包含关系做匹配。
同样的，如果说两个条件$p,q$相容，那是说$\exists s(s<p\wedge s<q)$，如果不存在$s$那就是相互冲突（此时记为$p\perp q$）。
滤子和稠密开子集
这个滤子和第一卷的定义是一样的，如下：
设$\mathbb{P}=(P,<,1)$是一个力迫构思。$P$的一个非空子集$F$是$\mathbb{P}$上的一个滤子当且仅当
- $\forall p\in F\forall q\in F\exists r\in F(r\leq p\land r\leq q)$
- $\forall p\in F\forall q\in P(p\leq q\rightarrow q\in F)$
可以注意到滤子中的条件都是相容的，而$\mathbb P$自身则是处处充满矛盾。所以滤子不意味着大多数条件的性质，反而意思是专注于我们关心的那一小簇条件的演化。
同样的，这里也有类似荟萃子集的东西，也就是稠密开子集，定义如下：
- 称$D$是$\mathbb{P}$的稠密子集当且仅当$\forall p\in P\exists q\in D(q\leq p)$（类似还有在某个$p$之下稠密，意义很明显，就不再赘述了）
- 称$D$是$\mathbb{P}$的一个开子集当且仅当$\forall p\in P\forall q\in P((p\in D\land q\leq p)\to q\in D)$
如果一个集合$\mathcal D$收集了很多稠密开子集，而一个滤子$F$又能与所有$D\in\mathcal D$都有交，就称$F$是$\mathcal D-$泛型滤子。如果是对一个模型$M$，$\mathbb P\in M$，$F$能与所有$D\in M$且是$\mathbb P$的稠密开子集有交，那就称$F$是$M-$泛型滤子或者简称$\mathbb P-$泛型滤子。
此外关于$\mathbb P-$泛型滤子有定理：如果$M\vDash ZFC$是一个可数传递模型，$\mathbb P\in M$是一个力迫构思，$G\subset P$是一个$M$之上的$\mathbb P-$泛型滤子，那么$G\notin M$。
最初我对这部分始终难以理解为什么$G$能不在$M$中，这部分请详见问题
力迫语言
力迫名字：
假设模型$M$，$\mathfrak P\in M$是一个力迫构思。一个集合$\tau$是一个$\mathbb{P}-$名字当且仅当$\tau$是一个二元关系, 并且对于任意的$(\sigma , p) \in \tau$,$\sigma$也是一个$\mathbb{P}-$名字以及$p\in P$
名字中最常使用和出现的我们称之为典型名字，比如：
- 对于每一个集合$x$,称名字\(\check{x}=\{(\check{y},1)\mid y\in x\}\)为集合$x$的典型名字,并且用记号$\check{x}$来表示集合$x$的典型名字
- 令\(\dot{G}=\{(\check{p},p)\mid p\in P\}\)。称集合$\dot{G}$为力迫构思$\mathbb{P}-$泛型滤子的典型名字
- 一个$\mathbb{P}-$偏序集名字$\dot{\mathbb{Q}}$是一个满足下述要求的$\mathbb{P}-$名字三元组$\dot{\mathbb{Q}} = (\dot{Q},\dot{\leqslant}_{Q},\dot{\mathbf{1}}_{Q}):\ \dot{\mathbf{1}}_{Q}\in \mathrm{dom}(\dot{Q})$以及 \(1_\mathbb P\Vdash[(\dot{\mathbf 1}_Q\in\dot Q)\wedge(\dot\leq_Q是\dot Q 上的一个偏序，且\dot{\mathbf 1}_Q是最大元)]\)
全体名字的集合我们可以记作$M^\mathbb P$1。而力迫语言就是基于这些名字构造出来的，对于一个力迫构思$\mathbb{P}$而言，$\mathbb{P}-$力迫语言，记成\(\mathcal{F}\mathcal{L}_{\mathbb{P}}\)，是由二元关系符号$\in$以及以全体$\mathbb{P}-$名字为常元符号所组成的逻辑表达式的类。换句话说，$\mathbb{P}$力迫语言\(\mathcal{F}\mathcal{L}_{\mathbb{P}}\)恰好由下述集合组成: \(\phi (\tau_{1},\dots ,\tau_{n})\)，其中$\phi (\upsilon_{1},\dots ,\upsilon_{n})$是一个彰显自由变元符号的语言\(\mathcal{L}_{\in}\)的表达式，\(\tau_{1},\dots ,\tau_{n}\)是$\mathbb{P}-$名字，\(\phi (\tau_{1},\dots ,\tau_{n})\)是用这些名字分别替换相应的自由变元符号之后得到的解析表达式，也就是力迫语言的语句。此外我们还以记号$\mathcal{AL}_\mathbb P$来记那些只是等于关系式（$\tau=\sigma$）或者属于（$\tau\in\sigma$）关系式组成的类
但是这些语句是不能直接使用的，因为它们当中还包含了不少的名字，在每一个具体的扩张模型$M[G]$中，我们还需要对语句中的所有名字都进行解释，也就是下面说的用$\check x/G$代替语句中的$\check x$，这才能得到真正模型中的语句。
力迫扩张
定义了语言之后我们就需要对模型进行扩张了。假设模型$M$，力迫构思$\mathbb P\in M$，$G\subset P$是$M-$泛型滤子。
对于$\tau\in M^\mathbb P$1（也就是一个名字）在$G$下的解释，记作$\tau/G$为下述集合
\[\tau/G=\{\sigma/G\mid(\exists p\in G((\sigma,p)\in\tau))\}\]最后令$M[G]={\tau/G\mid\tau\in M^\mathbb P}$1，而\((M[G],\in,\tau/G)_{\tau\in M^\mathbb P}\)1 为\(\mathcal{F}\mathcal{L}_{\mathbb{P}}\cap M\)的一个力迫扩张结构，一般直接用$M[G]$来表示这个扩张结构。241页（书222页）推论3.3表明如果$M$是$ZFC$的可数模型$M[G]$实际上$M[G]$还是$ZFC$的可数模型（但是好像不是任何公理体系都有类似结论），其中除了同一性公理、$\in-$极小原理（证明见习题）、无穷公理、配对公理、并集公理，其他公理的证明均需要使用真相引理和可定义性引理来证明（见269页，或书250页以及后面几页）。
而且，对于任何的命题$\varphi\in\mathcal {FL}^\mathbb P$，$M[G]$都必须对其做出判断，也就是要么$M[G]\vDash\varphi$，要么$M[G]\vDash(\neg\varphi)$，不能有无法判断的情况（可定义性引理保证）。
力迫关系
见符号
力迫乘积
若$\mathbb{P,Q}$都是$M$中的一个力迫构思，则$\mathbb P\times\mathbb Q$是下述偏序集合$(P\times Q,\leq,\mathbf 1)$
- 论域为$P\times Q$
偏序关系是
\[(p_{1},q_{1})\leqslant (p_{2},q_{2})\iff [p_{1}\leqslant_Pp_{2}\land q_{1}\leqslant_Qq_{2}];\]- $\mathbf1 = (\mathbf1_P, \mathbf1_Q)$
若$G_{0}\subseteq P$和$G_{1}\subseteq Q$为两个滤子同时有下述三个语句等价
- $G_{0} \times G_{1}$是$M$之上的$\mathbb{P} \times \mathbb{Q}-$泛型滤子
- $G_{0}$是$M$之上的$\mathbb{P}$泛型滤子，并且$G_{1}$是$M[G_{0}]$之上的$\mathbb{Q}$泛型滤子
- $G_{1}$是$M$之上的$\mathbb{Q}$泛型滤子，并且$G_{0}$是$M[G_{1}]$之上的$\mathbb{P}$泛型滤子 且若上述三者成立，有
反过来，若$G$是$\mathbb P\times\mathbb Q-$泛型滤子，那么令$G_0={p\in P\mid \exists q\in Q((p,q)\in G)},G_1={q\in Q\mid \exists p\in P((p,q)\in G)}$。则$G=G_0\times G_1$，$G_0$是$M$上的$\mathbb P-$泛型滤子，$G_1$是$M[G_0]$上的$\mathbb Q-$泛型滤子。
迭代偏序
设$\mathbb{P}$为一个力迫构思，令$\mathbb{Q}$为一个$\mathbb{P}-$偏序集名字，$\mathbb{P}$与$\dot{\mathbb{Q}}$的一步迭代是如下定义的偏序集$\mathbb{P}*\dot{\mathbb{Q}}$ :
- $P*\dot{Q} = {(p,\dot{q})\mid p\in P\land \dot{q}\in \mathrm{dom}(\dot{Q})\land p\Vdash \dot{q}\in \dot{Q}}$
- $(p_{1},\dot{q}_1)\leqslant_{P*\dot{Q}}(p_{2},\dot{q}_2)\iff [p_{1}\leqslant_{P}p_{2}\land p_1\Vdash \dot{q}_{1}\leqslant_{Q}\dot{q}_2]$
- $\mathbf{1}_{P*\dot{Q}} = \left(\mathbf{1}_{\mathbb{P}},\dot{\mathbf{1}}_{Q}\right)$
有趣的是,这种力迫构思的一步迭代是前面的力迫乘积的一种自然推广，存在一个从它们的乘积偏序$\mathbb{P}\times \mathbb{Q}$到它们的迭代偏序$\mathbb{P}*\dot{\mathbb{Q}}$的稠密嵌入映射，其中$\dot{\mathbb{Q}}$是$\mathbb{Q}$的$\mathbb{P}-$名字
此偏序还有性质：
如果$G$是$M$之上的一个$\mathbb{P}$泛型滤子，$H$是$M[G]$之上的一个$\dot{\mathbb{Q}} /G$泛型滤子，那么
\[G*H = \{(p,\dot{q})\in P*\dot{Q}\mid p\in G\wedge \dot{q} /G\in H\}\]是$M$之上的一个$\mathbb{R} = \mathbb{P}*\dot{\mathbb{Q}}$泛型滤子
- 如果$K$是$M$之上的一个$\mathbb{R}$泛型滤子
- 令$G = {p\in P\mid \exists \dot{q}\in \operatorname {dom}(\dot{Q})(p,\dot{q})\in K}$，那么$G$是$M$之上的一个$\mathbb{P}$泛型滤子
- 令$H = {\dot{q} /G\mid\dot{q}\in \operatorname {dom}(\dot{Q})\wedge \exists p(p,\dot{q})\in K}$，那么$H$是$M[G]$之上的一个$\dot{\mathbb{Q}} /G$泛型滤子
- $K = G*H$
- 如果$M\vDash \kappa$是一个正则基数。如果$M\vDash \mathbb{P}$满足$\kappa-$链条件，并且$\mathbf{1}_{\mathbb{P},M}\Vdash \dot{\mathbb{Q}}$满足$\check{\kappa}$链条件，那么$M\vDash \mathbb{P}*\dot{\mathbb{Q}}$满足$\kappa-$链条件
当然，它都叫一次迭代了，就说明我们还可以更进一步，到$\omega$，甚至$\gamma\in\text{Ord}$步的构造（远超力迫乘积），定义如下:
一个长度为$\alpha +1$的双序列
\[\left(\langle (P_{\xi},\leqslant_{\xi},\mathbf{1}_{\xi})\mid 1\leqslant \xi \leqslant \alpha +1\rangle ,\left\langle \left(\dot{Q}_{\gamma},\dot{\leqslant}_{\gamma},\mathbf{\dot 1}_{\gamma}\right)\mid \gamma \leqslant \alpha \right\rangle\right)\]被称为一个长度为$\alpha +1$的有限支撑选代力迫构造当且仅当它满足下述要求:
$\forall 1\leqslant \beta \leqslant \alpha \left(\langle (P_{\xi},\leqslant_{\xi},\mathbf{1}_{\xi})\mid 1\leqslant \xi \leqslant \beta \rangle ,\left\langle \left(\dot{Q}_{\gamma},\dot{\leqslant}_{\gamma},\mathbf{\dot 1}_{\gamma}\right)\mid \gamma < \beta \right\rangle\right)$是一个长度为$\beta$的有限支撑选代力迫构造
$\left(\dot{Q}_{\alpha},\dot{\leqslant}_{\alpha},\mathbf{\dot 1}_{\alpha}\right)$是一个$\mathbb{P}_{\alpha}-$偏序集名字
- \[\begin{array}{r}{\mathrm{~\psi~}\forall p\left(\begin{array}{l}{p\in P_{\alpha+1}\leftrightarrow}\\ {\left(\begin{array}{l}{\mathrm{dom}(p)=\alpha+1\wedge p\upharpoonright_{\alpha}\in P_{\alpha}\wedge p(\alpha)\in\mathrm{dom}(\dot{Q}_{\alpha})\wedge}\\ {\left[\begin{array}{l}{p\upharpoonright_{\alpha}\in{\mathbb{P}_{\alpha}}\ p(\alpha)\in\dot{Q}_{\alpha}}\end{array}\right]}\end{array}\right)}\end{array}\right)}\end{array}\]
$\mathbf{1}_{\alpha +1} \upharpoonright_{\alpha} = \mathbf{1}_{\alpha}$以及$\mathbf{1}_{\alpha +1}(\alpha) = \dot{\mathbf{1}}_{\alpha}$
- \[\begin{array}{r}{\forall p\in P_{\alpha +1}\forall q\in P_{\alpha +1}(p\leqslant_{\alpha +1}q\leftrightarrow ( \begin{array}{l}{p\upharpoonright_{\alpha}\leqslant_{\alpha}q\upharpoonright_{\alpha}\wedge}\\ {(p\upharpoonright_{\alpha}p(\alpha)\leqslant_{\alpha}q(\alpha)} \end{array} ))} \end{array}\]
对于极限序数$\alpha$而言，一个长度为$\alpha$的双序列
\[\left(\langle (P_{\xi}, \leqslant_{\xi}, \mathbf{1}_{\xi}) \mid 1 \leqslant \xi \leqslant \alpha \rangle , \left\langle \left(\dot{Q}_{\gamma}, \dot{\leqslant}_{\gamma}, \dot{\mathbf{1}}_{\gamma}\right) \mid \gamma < \alpha \right\rangle\right)\]被称为一个长度为$\alpha$的有限支撑迭代力迫构造当且仅当它满足下述要求:
$\forall \beta < \alpha \left(\langle (P_{\xi}, \leqslant_{\xi}, \mathbf{1}_{\xi}) \mid 1 \leqslant \xi \leqslant \beta \rangle , \left\langle \left(\dot{Q}_{\gamma}, \dot{\leqslant}_{\gamma}, \dot{\mathbf{1}}_{\gamma}\right) \mid \gamma < \beta \right\rangle\right)$是一个长度为$\beta$的有限支撑迭代力迫构造
$\forall p(p \in P_{\alpha} \leftrightarrow (\mathrm{dom}(p) = \alpha \wedge \forall \beta < \alpha (p \upharpoonright_{\beta} \in P_{\beta}) \wedge \mid\mathrm{spt}(p)\mid < \omega))$，其中
\[\mathrm{spt}(p) = \{\beta < \alpha \mid \mathbf{1}_{\beta} \mid \forall p(\beta) = \dot{\mathbf{1}}_{\beta}\}\]$\forall \beta < \alpha(\mathbf{1}_{\alpha} \upharpoonright_{\beta} = \mathbf{1}_{\beta})$
$\forall p \in P_{\alpha} \forall q \in P_{\alpha}$ $(p \leqslant_{\alpha} q \leftrightarrow (\forall \beta < \alpha (p \upharpoonright_{\beta} \leqslant_{\beta} q \upharpoonright_{\beta})))$ .
和前面一样，我们将用记号$\mathbb{P}_{\alpha}$来简记$(P_{\alpha}, \leqslant_{\alpha}, \mathbf{1}_{\alpha})$，用记号$\dot{\mathbb{Q}}_{\beta}$来简记$\left(Q_{\beta}, \leqslant_{\beta}, \mathbf{1}_{\beta}\right)$
两种嵌入映射
定义3.27、3.28
稠密嵌入映射
设$\mathbb P = (P,\leqslant_a,\mathbf 1_a)$和$\mathbb Q = (Q,\leqslant_b,\mathbf 1_b)$为两个力迫构思。一个映射$\pi :P\to \mathbb{Q}$被称为一个稠密嵌入映射当且仅当
- $\pi (\mathbf 1_a) = \mathbf 1_b$
- $\pi$是偏序$\leqslant_{a}$保持映射
- $\pi$保持相冲性，即对于任意的 $p,q\in P,p\perp_{a}q\iff \pi (p)\perp_{b}\pi (q)$
- $\pi$的像集$\pi [P]$在$\mathbb{Q}$中是稠密的
完备嵌入映射
设$\mathbb P = (P,\leqslant_a,\mathbf 1_a)$和$\mathbb Q = (Q,\leqslant_b,\mathbf 1_b)$为两个力迫构思。称一个映射$\pi :P\to Q$为一个完备嵌入映射当且仅当
- $\pi (\mathbf 1_a) = \mathbf 1_b$
- $\pi$是偏序$\leqslant_{a}$保持映射，即$p_{1}\leqslant_{a}p_{2}\to \pi (p_{1})\leqslant_{b}\pi (p_{2})$
- $\pi$保持相冲性，即对于任意的 $p,q\in P,p\perp_{a}q\iff \pi (p)\perp_{b}\pi (q)$
- $\pi$是稠密相容的，即对于任意的$q\in Q$，必然存在某个$p\in P$以至于每一个$r\leqslant_{a}p$在$\pi$下的像$\pi (r)$都与$q$在$\mathbb{Q}$中相容
偏序的同构映射一定是稠密嵌入映射，稠密嵌入映射也一定是完备嵌入映射，定义从严格逐步变宽松。同时，三者都保持原来的极大冲突子集映射后还是极大冲突子集（PDF 312页引理3.49，与第四条等价）。且，从保持相冲性不难证明，映射必须是单射。
一些符号
$\subset_n$
页数：76页(书57页)
定义1.27 设 $X$ 是一个非空集合, $k\in \omega$ $s\in (X)^{< \omega}$ $t\in (X)^{< \omega}$
$\vDash$
页数：77页(书58页)
定义
设 $A$ 是一个非空集合, $E\subseteq A\times A,\phi$ 是一个表达式.设 $\sigma \in (A)^{< \omega}$ 如下递归地定义 $((A,E),\sigma)\vDash \phi$
(1)如果 $\phi$ 是 $(v_{i}\in v_{j})$ 那么
\[(((A,E),\sigma)\vDash \phi)\leftrightarrow (\{i,j\} \subseteq \mathrm{dom}(\sigma)\wedge \langle \sigma (i),\sigma (j)\rangle \in E);\](2)如果 $\phi$ 是 $(v_{i} = v_{j})$ 那么
\[(((A,E),\sigma)\vDash \phi)\leftrightarrow (\{i,j\} \subseteq \mathrm{dom}(\sigma)\wedge (\sigma (i) = \sigma (j));\](3)如果 $\phi$ 是 $(\neg \psi)$ 那么
\[(((A,E),\sigma)\vDash \phi)\leftrightarrow (((A,E),\sigma)\not\in\psi);\](4)如果 $\phi$ 是 $(\psi \rightarrow \theta)$ 那么
\[(((A,E),\sigma)\vDash \phi)\leftrightarrow ((((A,E),\sigma)\not\in\psi)\lor (((A,E),\sigma)\vDash \theta));\](5)如果 $\phi$ 是 $(\psi \leftrightarrow \theta)$ 那么
\[(((A,E),\sigma)\vDash \phi)\leftrightarrow ((((A,E),\sigma)\vDash \psi)\leftrightarrow ((((A,E),\sigma)\vDash \theta));\](6)如果 $\phi$ 是 $(\psi \vee \theta)$ 那么
\[(((A,E),\sigma)\vDash \phi)\leftrightarrow ((((A,E),\sigma)\vDash \psi)\lor ((((A,E),\sigma)\vDash \theta));\](7)如果 $\phi$ 是 $(\psi \wedge \theta)$ 那么
\[(((A,E),\sigma)\vDash \phi)\leftrightarrow ((((A,E),\sigma)\vDash \psi)\wedge ((((A,E),\sigma)\vDash \theta));\](8)如果 $\phi$ 是 $(\exists v_{k}\psi)$ 那么
\[(((A,E),\sigma)\vDash \phi)\leftrightarrow (\exists \tau \in (A)^{< \omega}(\sigma \subset_{k}\tau \wedge (((A,E),\tau)\vDash \psi));\](9)如果 $\phi$ 是 $(\forall v_{k}\psi)$ 那么
\[(((A,E),\sigma)\vDash \phi)\leftrightarrow (\forall \tau \in (A)^{< \omega}(\sigma \subset_{k}\tau \to (((A,E),\tau)\vDash \psi)).\]如果 $\phi$ 是一个语句,那么
\[((A,E)\vDash \phi)\leftrightarrow (((A,E),\varnothing)\vDash \phi).\]称 $(A,E)$ 为集合的一个结构.当\(E=\{(a,b)\in A\times A\mid a\in b\}\)时,我们直接写成 $(A,\in)$ 当 $A$ 是一个非空传递集合时, $T$ 是集合论语言的一个理论,并且对于 $T$ 中的每一个语句 $\theta$ 都有
\[(A,\in)\vDash \theta\]则称 $(A,\in)$ 为理论 $T$ 的一个传递模型
理解
见习题
$\prec$
页数：92页(书73页)
称 $\mathfrak{B}$ 为 $\mathfrak{A}$ 的一个同质子模型, 记成 $\mathfrak{B} \prec \mathfrak{A}$ , 当且仅当
(a) $\mathfrak{B}$ 是 $\mathfrak{A}$ 的一个子结构, 并且
(b) 如果 $\phi (v_{1}, \dots , v_{n})$ 是语言 $\mathcal{L}$ 的一个彰显自由变元的表达式,
那么
\[\mathfrak{B}\vDash \phi [a_{1},\dots ,a_{n}]\iff \mathfrak{A}\vDash \phi [a_{1},\dots ,a_{n}]\]此外，$\prec_\varphi$也就是说仅仅在表达式$\varphi$上有$\mathfrak A,\mathfrak B$真实性相同（可参考108页(书89页)
$\mathfrak D$
页数：79页(书60页)
定义
其有性质：
引理1.15 如果 $M$ 是一个非空传递集合,那么
(1) $(M \cup [M]^{< \omega} \cup {M}) \subseteq \mathfrak D(M)$ ,并且 $\mathfrak D(M)$ 也是一个传递集合
(2) $\mathfrak D(M)$ 关于集合的布尔运算封闭,即
(a)如果 $A \in \mathfrak D(M)$ ,那么 $(M - A) \in \mathfrak D(M)$
(b)如果 $A \in \mathfrak D(M)$ 和 $B \in \mathfrak D(M)$ ,那么 $(A \cup B) \in \mathfrak{D}(M)$ 以及 $(A \cap B) \in \mathfrak D(M)$
(3)如果 $M$ 的幂集存在,那么 $\mathfrak D(M) \subseteq \mathfrak{P}(M)$
定义1.30 设 $M$ 是一个非空传递集合, $A \subseteq M$ . 称 $A$ 是 $M$ 的可定义子集当且仅当
\[\exists n \in \omega \exists \{a_{1}, \dots , a_{n}\} \in [M]^{n} \exists \phi (x_{0}, x_{1}, \dots , x_{n}) (A = \{a \in M \mid \phi^{M}[a, a_{1}, \dots , a_{n}]\})\]称 $A$ 是 $M$ 的免参数可定义子集当且仅当
\[\exists \phi (x_{0}) (A = \{a \in M \mid \phi^{M}[a]\})\]
可定义子集与幂集是不同的，比如对于$\mathfrak D(\mathbb N),\mathfrak P(\mathbb N)$，两者肯定不同（即使加上选择公理），因为前者只有可数个，而后者则不可数。原因在于表达式的数量是可数的，所以我们只能定义极少的一部分子集来。
推广
对此符号和可定义子集概念，书上在214页（书195页）对概念进行了推广，将可定义的概念推广到相对可定义 ，允许在定义集合时使用一个一元谓词$U$，极大地扩展了定义的灵活性，对此有如下符号和定义：
设$U$是一个一元谓词（要注意本质上$U$可以是一个类 ，而$U\cap M$一定是集合）,设$M$是一个非空传递集合,$A \subseteq M$称$A$是$M$的在语言$\mathcal{L}_{\in ,U}$下的可定义子集,简称为相对于$U$可定义子集,当且仅当
并引入符号
\[\mathfrak D_U(M)=\{A\subseteq M\mid A是M的相对于U可定义的子集\}\]而且如果$U$是一个集合，引理1.15所述的各项性质也都予以保留
$\mathcal L_{\kappa ,\gamma}$
页数：209页(书190页)
语言$\mathcal L_{\kappa ,\gamma}$定义如下：
(0)$\kappa,\gamma$是基数
(1)它有$\kappa$个变元符号
(2)它有任意基数个关系符号、函数符号和常元符号
(3)它有五个基本逻辑联结符号，同时对于每一个$\alpha < \kappa$，它有长度为$\alpha$的析取联结符号$\bigvee\limits_{\xi < \alpha}$以及合取联结符号$\bigwedge\limits_{\xi < \alpha}$
(4)对于$1\leq \alpha < \gamma$，它有长度为$\alpha$的量词符号$\exists_{\xi<\alpha}v_{\xi}$和$\forall_{\xi < \alpha}v_{\xi}$
(5)它的每一个表达式都由上述符号递归地形成
$\Vdash$
从外部定义
设$M\vDash \mathrm{ZFC}$是一个可数传递模型，$\mathbb{P}\in M$是一个力迫构思。设$\theta$为力迫语言$\mathcal{F}\mathcal{L}_{\mathbb{P}}\cap M$的一个语句，$p\in P$为一个力迫条件。定义
\[p\Vdash_{\mathbb{P},M}\theta\]当且仅当
\[\forall G\subset P((p\in G\land G))是\mathbb{P}的M之上的一个泛型滤子\rightarrow M[G]\vDash \theta\]在$M$和$\mathbb{P}$固定的情形下，我们将记号$\Vdash_{\mathbb{P},M}$简写成$\Vdash$，也就是将下标省略掉.表达式$p\Vdash \theta$读作$p$力迫$\theta$
其意味是说，如果你的力迫模型$M[G]$建立于$p$所对应的条件之上，那么$p$所力迫的那些命题，你也必须要满足，这些命题是由条件$p$所要求的。
从内部定义
前面的那种定义我们是无法在模型$M$内部看到的，因此我们为了进行扩张必须站在一个外部的观察者的视角，这对于我们扩张我们的宇宙是不利的，所以我们也必须从内部为$\Vdash$下一个定义，这样我们后面才能从内部去扩张我们的宇宙。
递归地定义$\Vdash^*$如下：设$\tau_1,\tau_2\in V^\mathbb P$1
$p\Vdash^*\left(\tau_{1} = \tau_{2}\right)$当且仅当
\[\forall \sigma \in (\mathrm{dom}(\tau_{1})\cup \mathrm{dom}(\tau_{2})) \forall q\leqslant p\left[(q\Vdash^*(\sigma \in \tau_{1}))\leftrightarrow (q\Vdash^*(\sigma \in \tau_{1}))\right];\]$p\Vdash^*\left(\tau_{1}\in \tau_{2}\right)$当且仅当集合
\[D_{(p,\tau_{1},\tau_{2})} = \{q\leqslant p\mid (\exists (\sigma ,r)\in \tau_{2}((q\leqslant r)\land q\Vdash^*(\sigma = \tau_{1})))\}\]在$p$之下稠密
- $p\Vdash^*(\neg \phi)$当且仅当$(\neg (\exists q\leqslant p[q\Vdash^*\phi ]))$
- $p\Vdash^*(\phi \land \psi)$当且仅当$p\Vdash^*\phi$以及$p\Vdash^*\psi$
- $p\Vdash^*(\phi \lor \psi)$当且仅当集合${q\leqslant p\mid [q\Vdash^*\phi ]\lor [q\Vdash^*\psi ]}$在$p$之下是稠密的
- $p\Vdash^*(\phi \rightarrow \psi)$当且仅当$(\neg (\exists q\leqslant p([q\Vdash^*\phi ]\land [q\Vdash^*(\neg \psi)]]))$
- $p\Vdash^*(\phi \leftrightarrow \psi)$当且仅当$(p\Vdash^*(\phi \rightarrow \psi)\wedge p\Vdash^*(\psi \rightarrow \phi))$
- $p\Vdash^*(\forall x\phi (x))$当且仅当$\forall \tau \in \mathrm{V}^{\mathbb{P}}(p\Vdash^*\phi (\tau))$
- $p\Vdash^*(\exists x\phi (x))$当且仅当集合${q\leqslant p\mid (\exists \sigma \in \mathrm{V}^{\mathbb{P}}(q\Vdash^*\phi (\sigma)))}$在条件$p$之下是稠密的
定义的基础当然是前两条，尽管看起来前两条是递归定义的，也就是$=$和$\in$相互依赖定义，但是每一次套娃都会让名字变得“更小”，所以这样的递归是可能的。
等价性
260页（书241页）引理3.19（等价力迫关系）表明，设$M$是理论$ZF-$幂集公理体系的一个可数传递模型，$\mathbb{P}\in M$是一个力迫构思。对于$p\in P$以及$\phi \in \mathcal{F}\mathcal{L}_{\mathbb{P}}\cap M$，总有
\[\left([p\Vdash \phi \right]\iff \left(p \Vdash^*\phi\right)^{M})\]这样我们就可以在$M$中定义$\Vdash^*$，而且实际上$\Vdash^*$和$\Vdash$也是相同的，因此我们就可以在$M$内部进行力迫扩张，而不是非得依赖于外部进行扩张。
与逻辑连接词、量词的关系
$\Vdash$与$\vee,\wedge$等等的逻辑连接词直接关系是几乎不影响，可以说有“交换律”。而与$\neg$的关系：$p\Vdash(\neg\theta)$当且仅当$(\neg(\exists q\leq p(q\Vdash\theta)))$ 这是由真相引理和可定义性引理共同保证的（主要是后面推导前面，也就是说在分支下$\theta$和$\neg\theta$必居其一）。前者保证如果有命题成立，就会有$q$去力迫这个命题。后者保证这个$q$一定会在模型$M$中。
与量词之间的关系：
$[p\Vdash (\forall x\phi (\tau_{0},\dots ,\tau_{n - 1},x))]$当且仅当
\[\forall \tau \in M^{\mathbb{P}}[p\Vdash \phi (\tau_{0},\dots ,\tau_{n - 1},\tau)]\]$[p\Vdash (\exists x\phi (\tau_{0},\dots ,\tau_{n - 1},x))]$当且仅当
\[\left(\forall r\leqslant p\exists q\leqslant r\exists \tau \in M^{\mathbb{P}}[q\Vdash \phi (\tau_{0},\dots ,\tau_{n - 1},\tau)]\right)\]（极大原理）$[p\vdash (\exists x\phi (\tau_{0},\dots ,\tau_{n - 1},x))]$当且仅当
\[\exists \tau \in M^{\mathbb{P}}[p\Vdash \phi (\tau_{0},\dots ,\tau_{n - 1},\tau)]\]$[p\Vdash (\exists x\in \sigma \phi (\tau_{0},\dots ,\tau_{n - 1},x))]$当且仅当
\[\forall r\leqslant p\exists q\leqslant r\exists \tau \in \operatorname {dom}(\sigma)[q\Vdash \phi (\tau_{0},\dots ,\tau_{n - 1},\tau)]\]
一些映射符号
$\operatorname{cl}$
页数：156页(书137页)
$\operatorname{cl}(X)$指对集合$X$的哥德尔集合运算下的闭包，$\operatorname{cl}_J(X)$则是指简朴集合运算下的闭包。
$i_*$
页数：313页（书294页）
若$\mathbb{P,Q}$是两个力迫构思，设$i:\mathbb Q\to\mathbb P$是一个嵌入映射，对于每一个$\mathbb Q-$名字$\tau$，递归定义（就类似名字的定义）
$\tilde\iota$、$i^{-1}$
如$i_*$，设$H\subset Q$，定义
\[\tilde\iota[H]=\{p\in P\mid\exists q\in H\ i(q)\leq_P p\}\]此处映射后$H$变大是为了保证，若$H$是一个滤子，那么$\tilde\iota[H]$也是一个滤子。反过来定义的还有设$G\in P$
\[i^{-1}[G]=\{q\in Q\mid i(q)\in G\}\]同样的，这里可能会缩小集合，但是一样保证若$G$是滤子，那么$i^{-1}[G]$是一个滤子。这里的放大缩小也只是考虑到完备嵌入映射的性质所做相应调整。