选择公理应用

选择公理(AC)等价命题见结论记录

基数运算性质

这个结论来自书¹147页，以下三条性质都需要使用选择公理进行证明

• $2^\kappa>\kappa$或$2^\kappa\geq\kappa^+$
• 若$\alpha\leq\beta$，则$2^\alpha<2^\beta$
• 若$\alpha\in Ord$，则$\mathbf{cf}(2^{\aleph_\alpha})>\aleph_\alpha$

后继基数必正则

在第一卷PDF 160页(书139页)证明了如下命题:
设$\omega<\kappa<\aleph_{\alpha+1}$，如果$f:\kappa\to\aleph_{\alpha+1}$，那么$f$在$\aleph_{\alpha+1}$中必有界。
选择公理用在了从诸多的双射中选择一个，而且存在选择公理不成立的模型使得$\omega_1$非正则。

$\aleph$数和基数关系

网上有人，也包括AI都回答这个问题说需要AC才能保证所有的基数都是某个$\aleph$，但是实际上我在翻阅书¹之后，发现书中107页定理1.90就已经给出证明了，结论成立，而且不需要AC参与证明

其他重要性较低的命题

$\omega_1$上非平凡的$\omega_1$-完全的超滤子

见我的笔记

理想扩充

通过佐恩引理可以证明任意理想都可以扩张成为一个素理想（书上好像第二卷第三章有相关结论，但是我还没有看到那里，现在还在第二卷第一章，下面附一个Gemini的证明）

是的，在集合论中，一个任意的真理想（proper ideal）都可以扩张成为一个素理想。这个结论通常通过佐恩引理（Zorn’s Lemma）来证明。 具体来说，对于一个布尔代数 $\mathbb{B}$（例如一个集合的幂集），如果 $I$ 是一个真理想，我们可以构造一个包含 $I$ 且满足链条件的偏序集，然后使用佐恩引理来证明这个偏序集存在一个极大元。这个极大元就是包含 $I$ 的一个极大理想。参考材料中提到，在一个布尔代数中，$I$ 是一个素理想当且仅当它是一个极大理想 4。 虽然提供的参考材料没有直接给出“任意理想都可以扩张成为一个素理想”的明确陈述，但它们提供了支持这一结论的关键概念：

素理想与极大理想的关系：参考材料中指出，对于一个布尔代数，一个理想是素理想当且仅当它是一个极大理想 4。这意味着只要能证明一个理想可以扩张成一个极大理想，就证明了它可以扩张成一个素理想。 佐恩引理的应用：参考材料 5 在证明一个具有有限交性质的子集合可以扩张成一个超滤子时，用到了佐恩引理。超滤子与素理想是对偶的概念 11。具体来说，如果 $\mathcal{F}$ 是一个超滤子，那么 $X$ 上的一个理想 $\mathcal{I} = {A \subseteq X \mid (X-A) \in \mathcal{F}}$ 是一个素理想 11。类似地，通过从一个理想出发，利用佐恩引理可以找到一个包含该理想的极大理想，从而得到一个素理想。

因此，这个结论在集合论和抽象代数中是成立的，并且依赖于佐恩引理。

极大反链

通过佐恩引理可以证明，一个树的任何反链都可以扩展为一个极大反链（附一个Gemini的证明）：

1. 构造一个集合族： 假设我们有一个偏序集 (P, ≤)，以及 P 中的一个反链 A（A 可以是空集）。我们现在想证明存在一个极大反链 M 包含了 A。 我们定义一个集合 F，它的成员是 P 中所有“包含 A 的反链”。 F = { B | A ⊆ B 并且 B 是 P 中的一个反链 }

2. 在这个集合族上定义偏序关系： F 本身也构成一个偏序集，它的序关系就是集合的包含关系 ⊆。也就是说，对于 F 中的两个反链 B₁ 和 B₂，我们说 B₁ ≤ B₂ 当且仅当 B₁ ⊆ B₂。

3. 验证佐恩引理的条件： 佐恩引理说：如果一个非空偏序集 (F, ⊆) 中，任意一个链（Chain）都有上界，那么 F 必定存在极大元。
   • 什么是链？链是 F 的一个子集 C，其中任意两个元素都是可比较的。也就是说，对于 C 中的任意 B₁, B₂，要么 B₁ ⊆ B₂，要么 B₂ ⊆ B₁。这就像一串“套娃”一样的反链。
   • 我们要证明任意这样的链 C 都有一个上界。这个上界就是链中所有反链的并集，我们称之为 U = ⋃_{B∈C} B。
   • 我们需要证明这个 U 确实是 F 的一个元素（即 U 是一个包含 A 的反链），并且它确实是链 C 的上界。
     • U 包含 A 是显然的，因为链 C 中每个元素都包含 A。
     • U 是一个反链吗？是的。可以证明：如果 U 中有两个元素 x, y 是可比较的（比如 x ≤ y），那么它们必定来自链 C 中的同一个反链 B 内，但这与 B 是反链相矛盾。所以 U 必然是反链。
     • U 是 C 的上界吗？是的，因为对于 C 中任意一个 B，都有 B ⊆ U。
4. 得出结论： 既然 (F, ⊆) 满足佐恩引理的条件，那么 F 中必然存在一个极大元，我们称之为 M。 这个极大元 M 是什么？
   • 根据 F 的定义，M 是一个包含 A 的反链。
   • 根据 M 是 F 中极大元的定义，不存在 F 中的其他元素 B 使得 M 是 B 的真子集（M ⊂ B）。
   • 这就意味着 M 已经是一个极大反链了。因为如果它不是极大反链，就说明可以再往里面添加至少一个元素 z 形成一个更大的反链 M ∪ {z}。而 M ∪ {z} 显然也属于我们定义的集合 F，并且 M ⊂ M ∪ {z}，这就与 M 是 F 中的极大元相矛盾了。

弱化形式

关于$AC$（选择公理），其还是过于强了，所以会有一些弱化形式，比如可数选择公理、依赖选择公理等。对于可数选择公理自不必说，依赖选择公理（记为$DC$）则是如下定义的：（来自数学百科）

对于任意非空集合X及任意X上的全关系$R$而言，皆存在有一个X上的序列\((x_{n})_{n\in \mathbb N}\)，使得以下陈述成立：对于任意的$n\in \mathbb N$而言，\(x_n\ R\ x_{n+1}\)

我们有可数选择公理严格弱于依赖选择公理，又严格弱于选择公理。

1. 冯琦集合论 ↩︎ ↩︎²